微积分/高阶导数

二阶导数，或二阶导数，是函数的导数的导数。 函数的导数 $f(x)$ 可以用 $f'(x)$ 表示，它的二阶导数可以用 $f''(x)$ 表示。 这读作 "$f$ 对 $x$ 的二阶导数"，或"函数 $f(x)$ 的二阶导数"。 因为函数 $f$ 的导数定义为表示函数 $f$ 斜率的函数，二阶导数是表示一阶导数函数斜率的函数。

此外，三阶导数是函数的导数的导数的导数，可以用 $f'''(x)$ 表示。 这读作 "$f$ 对 $x$ 的三阶导数"，或"函数 $f(x)$ 的三阶导数"。 只要得到的导数本身可微分，就可以一直继续下去，得到四阶导数、五阶导数等等。 一阶导数以外的任何导数都可以称为高阶导数。

符号

令 $f(x)$ 是关于 $x$ 的函数。 以下是高阶导数的符号。

二阶导数	三阶导数	四阶导数	$n$-阶导数	备注
$f''(x)$	$f'''(x)$	$f^{(4)}(x)$	$f^{(n)}(x)$	这可能是最常见的符号。
${\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}$	${\frac {d^{3}f}{dx^{3}}}$	${\frac {d^{4}f}{dx^{4}}}$	${\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}$	莱布尼兹记号
${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}[f(x)]$	${\frac {d^{3}}{dx^{3}}}[f(x)]$	${\frac {d^{4}}{dx^{4}}}[f(x)]$	${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)]$	莱布尼兹记号的另一种形式
$D^{2}f$	$D^{3}f$	$D^{4}f$	$D^{n}f$	欧拉记号

警告: 你不应该写 $f^{n}(x)$ 来表示第 $n$ 阶导数，因为这很容易与 $f(x)$ 整个式子乘以 n 次幂混淆。

莱布尼兹记号，因为它精确，所以很有用，它来自

${\frac {d}{dx}}\left({\frac {df}{dx}}\right)={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}$

牛顿点记号 扩展到二阶导数，${\ddot {y}}$，但在这种记号常用的应用中，通常不会再进一步使用。

示例

示例 1

求$f(x)=4x^{5}+6x^{3}+2x+1$ 对 $x$ 的三阶导数。

重复使用幂法则 求导数。

• $f'(x)=20x^{4}+18x^{2}+2$
• $f''(x)=80x^{3}+36x$
• $f'''(x)=240x^{2}+36$

示例 2

求$f(x)=12\sin(x)+{\frac {1}{x+2}}+2x$ 对 $x$ 的三阶导数。

• $f'(x)=12\cos(x)-{\frac {1}{(x+2)^{2}}}+2$
• $f''(x)=-12\sin(x)+{\frac {2}{(x+2)^{3}}}$
• $f'''(x)=-12\cos(x)-{\frac {6}{(x+2)^{4}}}$

应用

有关二阶导数在求曲线凹凸性和拐点的应用，参见 “极值和拐点” 和 “极值定理”。有关高阶导数在物理学中的应用，参见 “运动学” 部分。