微积分/隐函数微分

通常情况下，你会遇到以显式形式表达的函数，即以 $y=f(x)$ 的形式表达。为了求 $y$ 关于 $x$ 的导数，你需要对等式两边求关于 $x$ 的导数，得到

${\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}[f(x)]=f'(x)$

但假设你有一个形式为 $f{\bigl (}x,y(x){\bigr )}=g{\bigl (}x,y(x){\bigr )}$ 的关系。在这种情况下，将 $y$ 表示为 $x$ 的函数可能很麻烦，甚至不可能。一个很好的例子是关系式 $y^{2}+2yx+3=5x$ 。在这种情况下，你可以利用 **隐函数微分** 来求导数。为此，你需要对等式两边求关于 $x$ 的导数，并求解 $y'$ 。也就是说，形成

${\frac {d}{dx}}{\bigl [}f{\bigl (}x,y(x){\bigr )}{\bigr ]}={\frac {d}{dx}}{\big [}g{\bigl (}x,y(x){\bigr )}{\big ]}$

并求解 ${\frac {dy}{dx}}$ 。每当你对一个变量关于另一个变量求导时，都需要使用链式法则。例如，

${\frac {d}{dx}}(y^{3})={\frac {d}{dy}}[y^{3}]\cdot {\frac {dy}{dx}}=3y^{2}\cdot y'$

隐函数求导与链式法则

要理解隐函数求导的原理并熟练运用它，必须认识到其关键思想就是链式法则。首先让我们回顾一下链式法则。假设我们有两个可微函数 $f(x),g(x)$ ，我们感兴趣的是计算函数 $f{\bigl (}g(x){\bigr )}$ 的导数，链式法则表明

${\frac {d}{dx}}{\bigl [}f{\bigl (}g(x){\bigr )}{\bigr ]}=f'{\bigl (}g(x){\bigr )}\cdot g'(x)$

也就是说，我们像正常一样对 $f$ 求导，然后代入 $g$ ，最后将结果乘以 $g$ 的导数。

现在假设我们要对类似 $y^{2}$ 的项进行微分，相对于 $x$ ，我们认为 $y$ 是 $x$ 的函数，所以在这个计算的剩余部分，我们将其写成 $y(x)$ 而不是仅仅写成 $y$ 。 $y^{2}$ 只是 $f(x)=x^{2}$ 和 $y(x)$ 的复合函数。也就是说， $f{\bigl (}y(x){\bigr )}=y(x)^{2}$ 。 回想一下 $f'(x)=2x$ ，那么链式法则指出

${\frac {d}{dx}}{\bigl [}f{\bigl (}y(x){\bigr )}{\bigr ]}=f'{\bigl (}y(x){\bigr )}\cdot y'(x)=2y(x)y'(x)$

当然，通常我们认为 $y$ 是 $x$ 的函数，而不必总是写成 $y(x)$ ，所以这个计算通常只写成

${\frac {d}{dx}}(y^{2})=2yy'$

不要被我们还不知道 $y'$ 是什么这个事实所迷惑，它是一个函数，而且通常如果我们对两个相等的量求导，就可以显式地解出 $y'$ （正如我们将在下面的例子中看到的）。这使得它成为求导数的一种非常强大的技术。

显式微分

例如，假设我们对 $y$ 相对于 $x$ 的导数感兴趣，其中 $x,y$ 由以下方程相关联

$x^{2}+y^{2}=1$

这个方程表示一个以原点为中心的半径为 1 的圆。请注意，$y$ 不是 $x$ 的函数，因为它不满足 垂直线测试 ($y=\pm 1$ 当 $x=0$ 时，例如）。

要找到 $y'$ ，首先我们可以分离变量得到

$y^{2}=1-x^{2}$

对等式两边开平方根，我们得到两个关于 $y$ 的独立函数 

$y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$

我们可以将其改写为分数幂

$y=\pm (1-x^{2})^{\frac {1}{2}}$

利用链式法则，我们得到：

$y'=\pm {\frac {(1-x^{2})^{-{\frac {1}{2}}}\cdot (-2x)}{2}}=\mp {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

并通过将 $y$ 代回这个方程进行简化，得到

$y'=-{\frac {x}{y}}$

隐函数微分

使用相同的方程

$x^{2}+y^{2}=1$

首先，对等式两边关于 $x$ 求导

${\frac {d}{dx}}[x^{2}+y^{2}]={\frac {d}{dx}}[1]$

${\frac {d}{dx}}[x^{2}]+{\frac {d}{dx}}[y^{2}]=0$

为了对等式左边第二项（记为 $f(y(x))=y^{2}$）进行求导，可以使用链式法则

${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}=2y\cdot y'$

因此，该方程变为

$2x+2yy'=0$

分离变量

$2yy'=-2x$

两边同除以 $2y$，并简化得到与上面相同的解

$y'=-{\frac {2x}{2y}}$

$y'=-{\frac {x}{y}}$

应用

当对无法显式求导的方程进行求导时，隐式求导非常有用，因为无法将变量分离。

例如，考虑方程

$x^{2}+xy+y^{2}=16$

对等式两边进行求导（记住对项 $xy$ 使用乘积法则）

$2x+y+xy'+2yy'=0$

将包含 $y'$ 的项分离出来

$xy'+2yy'=-2x-y$

提取公因子 $y'$，并将两边除以另一项

$y'={\frac {-2x-y}{x+2y}}$

例子

$xy=1$

可以解为

$y={\frac {1}{x}}$

然后求导

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{x^{2}}}$

然而，使用隐式微分，也可以这样进行微分

${\frac {d}{dx}}[xy]={\frac {d}{dx}}[1]$

使用乘积法则

$x{\frac {dy}{dx}}+y=0$

解出 ${\frac {dy}{dx}}$

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {y}{x}}$

注意，如果我们将 $y={\frac {1}{x}}$ 代入 ${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {y}{x}}$，我们将再次得到 ${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{x^{2}}}$。

应用：反三角函数

反正弦、反余弦、反正切。这些函数允许你根据一个角的正弦、余弦或正切来确定这个角。

首先，我们从反正弦开始，使得

$y=\arcsin(x)$

为了找到 ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$，我们需要首先把它分解成我们可以处理的形式

$x=\sin(y)$

然后我们可以对它求导

$1=\cos(y)\cdot {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$

…并解出 ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$ 

$y=\arcsin(x)$ 给我们这个单位三角形。

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{\cos(y)}}$

此时，我们需要回到单位圆三角形。由于 $y$ 是角，而对边是 $\sin(y)=x$ ，邻边是 $\cos(y)={\sqrt {1-x^{2}}}$ ，斜边是 1。 由于我们已经根据单位圆三角形确定了 $\cos(y)$ 的值，我们可以将其代回上面的方程，得到

反正弦函数的导数 ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

我们可以对反余弦和反正切函数使用相同的步骤

反余弦函数的导数 ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arccos(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arcsin(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

反正切函数的导数 ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$