微积分/多元微积分导论

本章作为多元微积分的介绍。多元微积分比我们处理单变量函数时要复杂，因为更多的变量意味着更多的情况需要考虑。在接下来的章节中，我们将讨论多元函数的极限、微分和积分，以单变量微积分作为基础。

Rⁿ中的拓扑

在你之前学习微积分的过程中，我们已经研究了函数及其行为。我们考察的大多数函数都具有以下形式

$f(x):\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

并且只偶尔考察两个变量的函数。然而，对多个变量函数的研究本身就相当丰富，并且在多个领域都有应用。

我们将向量函数 - 多个变量 - 写成如下形式

$f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$

以及 $f({\vec {x}})$ 表示将$\mathbb {R} ^{m}$ 中的向量映射到$\mathbb {R} ^{n}$ 中的向量的函数。

在我们可以在$\mathbb {R} ^{n}$ 中进行微积分之前，我们必须熟悉$\mathbb {R} ^{n}$ 的结构。我们需要知道$\mathbb {R}$ 的哪些性质可以扩展到$\mathbb {R} ^{n}$ 。本页假设至少对基本的线性代数有所了解。

长度和距离

如果我们在$\mathbb {R} ^{2}$ 中有一个向量，我们可以使用勾股定理来计算它的长度。例如，向量$(2,3)$ 的长度是

${\sqrt {3^{2}+2^{2}}}={\sqrt {13}}$

我们可以将此推广到 $\mathbb {R} ^{n}$ 。我们定义一个向量的长度，写成 $\|{\vec {x}}\|$ ，为其每个分量平方和的平方根。也就是说，如果我们有一个向量 ${\vec {x}}=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ，

$\|{\vec {x}}\|={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}$

现在我们已经建立了长度的概念，我们可以建立两个向量之间的距离。我们将此距离定义为这两个向量之差的长度。我们将此距离写成 $d({\vec {x}},{\vec {y}})$ ，它是

$d({\vec {x}},{\vec {y}})={\big \|}{\vec {x}}-{\vec {y}}{\big \|}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$

此距离函数有时被称为 *度量*。其他度量出现在不同的情况下。我们刚刚定义的度量被称为 *欧几里得* 度量。

开球和闭球

在 $\mathbb {R}$ 中，我们有 *区间* 的概念，即我们选择围绕某个中心点的特定数量的其他点。例如，区间 $[-1,1]$ 围绕点 0 为中心，包括 0 左侧和右侧的点。

在 $\mathbb {R} ^{2}$ 及更高维度中，这个想法就有点难以理解了。对于 $\mathbb {R} ^{2}$ ，我们需要考虑某个点左侧、右侧、上方和下方的点。这可能还可以，但是对于 $\mathbb {R} ^{3}$ ，我们需要包括更多方向上的点。

我们将区间的概念推广到考虑距离某个点固定距离的所有点。现在我们已经知道如何在$\mathbb {R} ^{n}$ 中计算距离，我们可以通过引入 *开球* 和 *闭球* 的概念进行如下推广，它们分别类似于开区间和闭区间。

*开球*

$B({\vec {a}},r)$

是一种集合，其形式为 ${\Big \{}{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}{\Big |}d({\vec {x}},{\vec {a}})<r{\Big \}}$。

*闭球*

${\overline {B}}({\vec {a}},r)$

是一种集合，其形式为 ${\Big \{}{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}{\Big |}d({\vec {x}},{\vec {a}})\leq r{\Big \}}$。

在$\mathbb {R}$ 中，我们已经看到开球仅仅是关于点 $x=a$ 的一个开区间。在$\mathbb {R} ^{2}$ 中，它是一个没有边界的圆，在$\mathbb {R} ^{3}$ 中，它是一个没有外表的球体。（*那么闭球是什么？*）

边界点

如果我们有一个区域，比如一个田野，那么 *边界* 的常识概念是“紧挨”田野内部和外部的点。对于一个集合 $S$ ，我们可以通过说该集合的边界包含所有满足以下条件的点来严格定义它：对于每个点，我们都能找到该集合内部和外部的点。我们将这些点的集合称为 $\partial S$ 。

通常，当存在时，$\partial S$ 的维数比$S$ 的维数低一个。例如，体积的边界是表面，表面的边界是曲线。

这并不总是正确的，但对于我们将使用的所有集合都是正确的。

如果存在某个正数，使得我们可以用以 ${\vec {0}}$ 为中心的闭球包围该集合，则集合 $S$ 被称为 有界。 --> 如果集合中的每个点到原点的距离都小于某个有限值，即存在某个 $r>0$ 使得 ${\vec {x}}$ 属于 S 蕴含 ${\vec {x}}<r$ 。

极限

在回顾单变量函数的极限时，我们将重点关注二元函数的极限。由于方向不同，多元函数的极限比单变量函数的极限要难得多。假设存在一个单变量函数

$y=f(x)$

为了确保 $\lim _{x\rightarrow c}f(x)$ 存在，我们需要从两个方向测试：一个从左侧逼近 $c$ ($x\rightarrow c^{-}$)，另一个从右侧逼近 $c$ ($x\rightarrow c^{+}$)。回想一下

$\lim _{x\rightarrow c}f(x)$ 当 $\lim _{x\rightarrow c^{-}}f(x)=\lim _{x\rightarrow c^{+}}f(x)$ 时存在。

例如，$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1}{x}}$ 不存在，因为 $\lim _{x\rightarrow 0^{-}}{\frac {1}{x}}=-\infty$ 且 $\lim _{x\rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{x}}=\infty$。现在，假设存在一个具有两个变量的函数

$z=f(x,y)$

如果我们要取一个极限，例如，$\lim _{(x,y)\rightarrow (a,b)}f(x,y)$，我们不仅需要考虑从$x$轴方向的极限，还需要考虑从所有方向的极限，包括$y$轴、直线、曲线等等。一般来说，如果存在一个方向，计算的极限与其他方向不同，则极限不存在。我们将在这里详细讨论这一点。

可微函数

一个二元函数$f(x,y)=(x^{2}+3y^{2})^{1-x^{2}-y^{2}}$

当我们扩展到三维世界时，我们需要考虑的情况要多得多。例如，导数。在之前的章节中，导数只有一个方向（$x$轴），因为只有一个变量。

${\frac {d(x^{3}+4x)}{dx}}=3x^{2}+4$

当我们有两个或更多变量时，变化率可以在不同的方向上计算。例如，看看右边的图像。这是一个二元函数的图像。由于有两个变量，所以定义域将是整个$xy$平面。我们将输出$f(x,y)$绘制在$z$轴上。右边函数的方程是

$f(x,y)=(x^{2}+3y^{2})^{1-x^{2}-y^{2}}$

我们如何计算导数？答案是使用偏导数。顾名思义，它只能“部分”地计算导数，因为我们只能计算图形在一个方向上的变化率。

偏导数

符号对于偏导数很重要。

${\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y)$ 表示$f(x,y)$ 对$x$ 的导数，其中我们只将$x$ 看作变量，而$y$ 看作常数。

${\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y)$ 表示 $f(x,y)$ 在 $y$ 轴方向上的导数，其中我们只将 $y$ 视为变量，而将 $x$ 视为常数。

为了简便，我们通常会使用各种标准缩写，这样我们就可以将大多数公式写在一行上。这可以更容易地看到重要的细节。

我们可以用下标缩写偏微分，例如：

$f_{x}={\frac {\partial f}{\partial x}},\quad f_{y}={\frac {\partial f}{\partial y}},\quad f_{xy}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right),\quad f_{yx}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)$

请注意，一般情况下，$f_{xy}\neq f_{yx}$。它们只在某些情况下相等。有关详细信息，请参阅 The_chain_rule_and_Clairaut's_theorem。当我们用这种方式使用下标时，我们通常会使用 Heaviside D（代表“方向”）而不是 ∂，

$D_{x}h(x,y)={\frac {\partial h}{\partial x}}\quad D_{x}D_{y}h=D_{y}D_{x}h$

$D_{\mathbf {\hat {u}} }f(x,y)$ 表示 $f$ 在方向 $\mathbf {\hat {u}} =\langle a,b\rangle$ 上的导数。

如果我们使用下标来标记轴，x₁, x₂ …，那么，我们不会使用两层下标，而是使用数字作为下标。

$h_{1}=D_{1}h=\partial _{1}h=\partial _{x_{1}}h={\frac {\partial h}{\partial x_{1}}}$

我们也可以使用下标来表示向量函数的各个分量，例如 $\mathbf {u} =\langle u_{x},u_{y},u_{z}\rangle {\text{ or }}\mathbf {u} =(u_{1},u_{2},...,u_{n})$。如果我们同时使用下标来表示向量分量和偏导数，我们将用逗号分隔它们。

$u_{x,y}={\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}$

最常用的符号是 $f_{x}$。

我们将根据所处理的方程选择最合适的符号。

方向导数

方向导数的几何解释。

通常，函数相对于其一个变量（例如，x_j）的偏导数，是对平行于x_j轴的该函数“切片”进行求导。

更准确地说，我们可以想象在空间中沿着x_j轴切开函数f(x₁,...,x_n)，保持除x_j之外的所有变量不变。

根据定义，我们有沿着这个切片的函数在点p处的偏导数为

${\partial \mathbf {f} \over \partial x_{j}}=\lim _{t\rightarrow 0}{\mathbf {f} (\mathbf {p} +t\mathbf {e} _{j})-\mathbf {f} (\mathbf {p} ) \over t}$

前提是这个极限存在。

我们可以选择任何方向上的向量（通常取为单位向量），而不是对应于沿着该轴求导的基向量，我们就可以获得函数的方向导数

${\partial \mathbf {f} \over \partial \mathbf {d} }=\lim _{t\rightarrow 0}{\mathbf {f} (\mathbf {p} +t\mathbf {d} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} ) \over t}$

其中d是方向向量。

如果我们想要计算方向导数，从极限定义计算起来比较麻烦，但是，我们有以下结论：如果f : Rⁿ → R 在点p处可微，|p|=1，

${\partial \mathbf {f} \over \partial \mathbf {d} }=D_{\mathbf {p} }\mathbf {f} (\mathbf {d} )$

在下一节中我们将讨论一个密切相关的公式。

梯度向量

标量的偏导数告诉我们，如果我们沿着其中一个轴移动，它会发生多少变化。如果我们沿着其他方向移动会怎么样？

我们将这个标量称为f，并考虑如果我们使用链式法则沿着一个无穷小的方向dr=(dx,dy,dz)移动会发生什么。

$\mathbf {df} =dx{\frac {\partial f}{\partial x}}+dy{\frac {\partial f}{\partial y}}+dz{\frac {\partial f}{\partial z}}$

这是dr与一个向量的点积，该向量的分量是f的偏导数，称为f的梯度。

$\operatorname {grad} \mathbf {f} =\nabla \mathbf {f} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {p} )}{\partial x_{1}}},\cdots ,{\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {p} )}{\partial x_{n}}}\right)$

我们可以用梯度与d的点积来计算点p方向上的方向导数。

${\partial \mathbf {f} (\mathbf {p} ) \over \partial \mathbf {d} }=\mathbf {d} \cdot \nabla \mathbf {f} (\mathbf {p} )$.

注意，grad f 类似于一个向量乘以一个标量。这种特殊的偏导数组合很常见，因此我们将其简写为

$\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$

我们可以将计算梯度向量的操作写成一个算子。回想一下，在单变量情况下，我们可以用d/dx表示对x求导的操作。这种情况类似，但∇像一个向量。

我们也可以将计算梯度向量的操作写成

$\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\cdots {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)$

梯度向量的性质

几何

• Grad f(p) 是一个指向f最陡斜率方向的向量。|grad f(p)| 是该点斜率的变化率。

例如，如果我们考虑 h(x, y)=x²+y²。h 的等高线是同心圆，圆心在原点，并且

$\nabla h=(h_{x},h_{y})=2(x,y)=2\mathbf {r}$

grad h 指向远离原点的方向，与等高线垂直。

• 沿着等高线，(∇f)(p) 与等高线 {x|f(x)=f(p) 在 x=p} 垂直。

如果 dr 指向沿着 f 的等高线，即函数为常数的地方，那么 df 将为零。由于 df 是一个点积，这意味着两个向量 df 和 grad f 必须成直角，即梯度与等高线垂直。

代数性质

类似于 d/dx，∇ 是线性的。对于任何一对常数 a 和 b，以及任何一对标量函数 f 和 g

${\frac {d}{dx}}(af+bg)=a{\frac {d}{dx}}f+b{\frac {d}{dx}}g\quad \nabla (af+bg)=a\nabla f+b\nabla g$

由于它是一个向量，我们可以尝试用其他向量以及它本身进行点积和叉积。

乘积规则和链式规则

就像普通的微分一样，对于梯度、散度和旋度也有乘积规则。

• 如果g是一个标量，v是一个向量，那么

gv 的散度是

$\nabla \cdot (g\mathbf {v} )=g\nabla \cdot \mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )g$

gv 的旋度是

$\nabla \times (g\mathbf {v} )=g(\nabla \times \mathbf {v} )+(\nabla g)\times \mathbf {v}$

• 如果u 和 v 都是向量，那么

它们点积的梯度是

$\nabla (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )=\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {u} )+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {u}$

它们叉积的散度是

$\nabla \cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {v} \cdot (\nabla \times \mathbf {u} )-\mathbf {u} \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )$

它们叉积的旋度是

$\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\mathbf {u} (\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mathbf {v} (\nabla \cdot \mathbf {u} )$

我们也可以写出链式规则。在一般情况下，当两个函数都是向量并且组合定义时，我们可以使用之前定义的雅可比矩阵。

$\left.\nabla \mathbf {u} (\mathbf {v} )\right|_{\mathbf {r} }=\mathbf {J} _{\mathbf {v} }\left.\nabla \mathbf {v} \right|_{\mathbf {r} }$

其中 J_u 是 u 在点 v 处的雅可比矩阵。

通常 J 是一个矩阵，但如果 u 的值域或定义域是 R¹，则它变成一个向量。在这些特殊情况下，我们可以使用仅向量表示法来简洁地编写链式法则。

• 如果 g 是向量的一个标量函数，而 h 是 g 的一个标量函数，则

$\nabla h(g)={\frac {dh}{dg}}\nabla g$

• 如果 g 是向量的一个标量函数，则

$\nabla =(\nabla g){\frac {d}{dg}}$

此替换可以应用于包含 ∇ 的任何方程。

积分

我们已经考虑了多变量函数的微分，这让我们考虑如何有意义地看待积分。

在单变量情况下，我们将函数的定积分解释为函数下方的面积。在多变量情况下，也有类似的解释：例如，如果我们在 R³ 中有一个抛物面，我们可能想查看该抛物面在 xy 平面上的某个区域上的积分，这将是该曲线下方和该区域内的 体积。

黎曼和

在查看这些形式的积分时，我们查看黎曼和。回想一下，在单变量情况下，我们将我们要积分的区间分成矩形，并将这些矩形的面积相加，因为它们的宽度越来越小。对于多变量情况，我们需要做类似的事情，但问题是，例如，如何拆分 R² 或 R³。

为了做到这一点，我们扩展了区间的概念，并考虑我们所说的 n-区间。一个 n-区间是某个矩形区域中的一组点，这些点在每个维度上都有固定宽度的边，即一个形式为 {x∈Rⁿ|a_i ≤ x_i ≤ b_i，其中 i = 0,...,n} 的集合，它的面积/大小/体积（为了避免混淆，我们简单地称之为它的 测度）是所有边的长度的乘积。

因此，R² 中的 n-区间可以是平面的某个矩形划分，例如 {(x,y) | x ∈ [0,1] 且 y ∈ [0, 2]|}。它的测度是 2。

如果我们要考虑黎曼和，现在是区域 Ω 的子 n-区间，它是

$\sum _{i;S_{i}\subset \Omega }f(x_{i}^{*})m(S_{i})$

其中 m(S_i) 是 Ω 分成 k 个子 n-区间 S_i 的测度，x^*_i 是 S_i 中的一个点。索引很重要 - 我们只在 S_i 完全落在 Ω 内的情况下执行求和 - 任何不完全包含在 Ω 中的 S_i 我们都忽略。

当我们取 k 趋于无穷大的极限时，也就是说，我们将 Ω 分成越来越细的子 n-区间，并且无论我们如何划分 Ω，此求和都是一样的，我们得到了 f 在 Ω 上的 积分，我们写成

$\int _{\Omega }f$

对于二维，我们可以写成

$\int \int _{\Omega }f$

同样适用于 n 维。

重复积分

谢天谢地，我们并不总是需要每次计算一个以上的变量的积分时都使用黎曼和。有一些结果使我们的生活变得轻松一些。

对于 R²，如果我们有一个区域位于另一个变量的两个函数之间（因此两个函数的形式为 f(x) = y 或 f(y) = x），位于一个常数边界之间（因此，位于 x = a 和 x =b 或 y = a 和 y = b 之间），我们有

$\int _{a}^{b}\,\int _{f(x)}^{g(x)}h(x,y)\,dydx$

一个重要的定理（称为 富比尼定理）向我们保证，此积分与

$\int \int _{\Omega }f$,

相同，如果 f 在积分域上是连续的。