微积分/多变量微积分导论

本章介绍多变量微积分。多变量微积分比我们处理单变量函数时要复杂，因为变量更多意味着要考虑的情况更多。在接下来的章节中，我们将讨论多变量函数的极限、微分和积分，并将单变量微积分作为我们的基础。

Rⁿ中的拓扑

在你之前学习微积分时，我们已经研究了函数及其行为。我们研究的大多数函数都是以下形式：

$f(x):\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

并且只偶尔考察二元函数。然而，多元函数的研究本身就非常丰富，并在多个领域都有应用。

我们将向量函数 - 多元函数 - 写成以下形式：

$f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$

以及$f({\vec {x}})$，表示将$\mathbb {R} ^{m}$ 中的向量映射到$\mathbb {R} ^{n}$ 中的向量的函数。

在我们可以在$\mathbb {R} ^{n}$ 中进行微积分之前，我们必须熟悉$\mathbb {R} ^{n}$ 的结构。我们需要了解哪些$\mathbb {R}$ 的性质可以扩展到$\mathbb {R} ^{n}$。本页假设你对基本的线性代数有所了解。

长度和距离

如果我们在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中有一个向量，我们可以使用勾股定理计算它的长度。例如，向量 $(2,3)$ 的长度为

${\sqrt {3^{2}+2^{2}}}={\sqrt {13}}$

我们可以将其推广到 $\mathbb {R} ^{n}$ 。我们定义一个向量的长度，记为 $\|{\vec {x}}\|$ ，为其每个分量平方和的平方根。也就是说，如果我们有一个向量 ${\vec {x}}=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ，

$\|{\vec {x}}\|={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}$

现在我们已经建立了一些长度的概念，我们可以建立两个向量之间的距离。我们将此距离定义为这两个向量差的长度。我们将此距离记为 $d({\vec {x}},{\vec {y}})$ ，它是

$d({\vec {x}},{\vec {y}})={\big \|}{\vec {x}}-{\vec {y}}{\big \|}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$

这种距离函数有时被称为度量。其他度量在不同的情况下出现。我们刚刚定义的度量被称为欧几里得度量。

开球和闭球

在 $\mathbb {R}$ 中，我们有区间的概念，即我们选择围绕某个中心点的一定数量的其他点。例如，区间 $[-1,1]$ 以点 0 为中心，包括 0 左侧和右侧的点。

在 $\mathbb {R} ^{2}$ 及更高维度空间中，这个概念要稍微复杂一些。对于 $\mathbb {R} ^{2}$，我们需要考虑某一点的左、右、上、下方向上的点。这可能没问题，但是对于 $\mathbb {R} ^{3}$，我们需要包括更多方向上的点。

我们通过考虑所有与某一点距离相等且固定的点来推广区间的概念 - 现在我们知道如何在 $\mathbb {R} ^{n}$ 中计算距离，我们可以通过引入 *开球* 和 *闭球* 的概念进行如下推广，它们分别类似于开区间和闭区间。

*开球*

$B({\vec {a}},r)$

是形如 ${\Big \{}{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}{\Big |}d({\vec {x}},{\vec {a}})<r{\Big \}}$ 的集合。

*闭球*

${\overline {B}}({\vec {a}},r)$

是形如 ${\Big \{}{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}{\Big |}d({\vec {x}},{\vec {a}})\leq r{\Big \}}$ 的集合。

在 $\mathbb {R}$ 中，我们已经看到，开球只是一个以 $x=a$ 为中心的开区间。在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，这是一个没有边界的圆，在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中，它是一个没有外表的球体。（*闭球会是什么？*）

边界点

如果我们有一个区域，比如一块田地，那么边界这个概念通常是指“紧挨着”田地内部和外部的点。对于一个集合，$S$ ，我们可以严格地定义它，说集合的边界包含所有这样的点，即我们可以找到集合内部和外部的点。我们称这些点的集合为 $\partial S$ 。

通常，当存在时， $\partial S$ 的维度比 $S$ 的维度低一个维度。例如，一个体积的边界是一个曲面，一个曲面的边界是一条曲线。

这并不总是正确的；但对于我们将要使用的所有集合来说，它是正确的。

一个集合 $S$ 是有界的，如果存在某个正数，我们可以用一个以 ${\vec {0}}$ 为中心的闭球体包围这个集合。——> 如果它中的每个点都处于原点有限的距离内，即存在某个 $r>0$ 使得 ${\vec {x}}$ 在 S 中意味着 ${\vec {x}}<r$ 。

极限

在回顾单变量函数的极限时，我们将重点关注二元函数的极限。由于存在不同的方向，多元函数的极限比单变量函数的极限要困难得多。假设存在一个单变量函数

$y=f(x)$

为了确保 $\lim _{x\rightarrow c}f(x)$ 存在，我们需要从两个方向对其进行测试：一个从左侧逼近 $c$ ($x\rightarrow c^{-}$)，另一个从右侧逼近 $c$ ($x\rightarrow c^{+}$)。回想一下

$\lim _{x\rightarrow c}f(x)$ 当 $\lim _{x\rightarrow c^{-}}f(x)=\lim _{x\rightarrow c^{+}}f(x)$ 时存在。

例如，$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1}{x}}$ 不存在，因为 $\lim _{x\rightarrow 0^{-}}{\frac {1}{x}}=-\infty$ 和 $\lim _{x\rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{x}}=\infty$。现在，假设有一个有两个变量的函数

$z=f(x,y)$

如果我们想要计算一个极限，例如，$\lim _{(x,y)\rightarrow (a,b)}f(x,y)$，我们不仅需要考虑从$x$轴方向的极限，还需要考虑从所有方向的极限，包括从$y$轴、直线、曲线等。一般来说，如果存在一个方向计算出来的极限值与其他方向不同，那么极限就不存在。我们将在这里详细讨论。

可微函数

一个有两个变量的函数$f(x,y)=(x^{2}+3y^{2})^{1-x^{2}-y^{2}}$

当我们把范围扩展到三维世界时，我们需要考虑的情况就多得多。例如，导数。在之前的章节中，导数只有一个方向（$x$轴），因为只有一个变量。

${\frac {d(x^{3}+4x)}{dx}}=3x^{2}+4$

当我们有两个或更多变量时，变化率可以在不同的方向计算。例如，看看右边图片。这是两个变量函数的图像。由于有两个变量，所以定义域将是整个$xy$平面。我们将在$z$轴上绘制输出$f(x,y)$。右边函数的方程为

$f(x,y)=(x^{2}+3y^{2})^{1-x^{2}-y^{2}}$

如何计算导数？答案是使用偏导数。顾名思义，它只能“部分”计算导数，因为我们只能在一个方向上计算图形的变化率。

偏导数

偏导数的符号很重要。

${\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y)$ 表示 $f(x,y)$ 在 $x$ 轴方向上的导数，我们只将 $x$ 视为变量，而将 $y$ 视为常数。

${\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y)$ 表示 $f(x,y)$ 在 $y$ 轴方向上的导数，我们只将 $y$ 视为变量，而将 $x$ 视为常数。

为了简单起见，我们经常使用各种标准缩写，以便我们可以在一行上写下大多数公式。这可以使我们更容易看到重要的细节。

我们可以用下标缩写偏微分，例如：

$f_{x}={\frac {\partial f}{\partial x}},\quad f_{y}={\frac {\partial f}{\partial y}},\quad f_{xy}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right),\quad f_{yx}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)$

请注意，一般情况下，$f_{xy}\neq f_{yx}$。它们只有在某些情况下才相等。有关详细信息，请参见链式法则和克莱罗定理。当我们以这种方式使用下标时，我们通常使用 Heaviside D（代表“方向”）而不是 ∂，

$D_{x}h(x,y)={\frac {\partial h}{\partial x}}\quad D_{x}D_{y}h=D_{y}D_{x}h$

$D_{\mathbf {\hat {u}} }f(x,y)$ 表示函数 $f$ 在方向 $\mathbf {\hat {u}} =\langle a,b\rangle$ 上的导数。

如果我们使用下标来标记轴，x₁, x₂ …，那么，为了避免出现两层下标，我们将使用数字作为下标。

$h_{1}=D_{1}h=\partial _{1}h=\partial _{x_{1}}h={\frac {\partial h}{\partial x_{1}}}$

我们也可以使用下标表示向量函数的成分，$\mathbf {u} =\langle u_{x},u_{y},u_{z}\rangle {\text{ or }}\mathbf {u} =(u_{1},u_{2},...,u_{n})$ 如果我们同时使用下标来表示向量分量和偏导数，我们将用逗号将它们隔开。

$u_{x,y}={\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}$

最常用的符号是 $f_{x}$。

我们将根据所处理的方程选择最合适的符号。

方向导数

方向导数的几何解释。

通常，函数关于其变量之一（例如，x_j）的偏导数，是在平行于x_j轴的“切片”上求导。

更准确地说，我们可以想象在空间中沿x_j轴切割函数f(x₁,...,x_n)，保持除x_j变量之外的所有变量不变。

根据定义，我们有函数沿此切片在点p处的偏导数为

${\partial \mathbf {f} \over \partial x_{j}}=\lim _{t\rightarrow 0}{\mathbf {f} (\mathbf {p} +t\mathbf {e} _{j})-\mathbf {f} (\mathbf {p} ) \over t}$

只要这个极限存在。

我们不用对应于沿该轴求导的基向量，而是可以选择任何方向上的向量（通常取为单位向量），然后求出函数的方向导数，其表达式为

${\partial \mathbf {f} \over \partial \mathbf {d} }=\lim _{t\rightarrow 0}{\mathbf {f} (\mathbf {p} +t\mathbf {d} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} ) \over t}$

其中 d 是方向向量。

如果我们要计算方向导数，从极限定义中计算它们相当痛苦，但是，我们有以下结论：如果 f : Rⁿ → R 在点 p 处可微分，|p|=1，

${\partial \mathbf {f} \over \partial \mathbf {d} }=D_{\mathbf {p} }\mathbf {f} (\mathbf {d} )$

在下一节中，我们将看到一个与之密切相关的公式。

梯度向量

标量的偏导数告诉我们，如果沿着某个轴移动，它会发生多少变化。如果我们沿着不同的方向移动呢？

我们将这个标量称为 f，并考虑如果我们沿着无穷小方向 dr=(dx,dy,dz) 移动会发生什么，使用链式法则。

$\mathbf {df} =dx{\frac {\partial f}{\partial x}}+dy{\frac {\partial f}{\partial y}}+dz{\frac {\partial f}{\partial z}}$

这是 dr 与一个向量的点积，该向量的分量是 f 的偏导数，称为 f 的梯度。

$\operatorname {grad} \mathbf {f} =\nabla \mathbf {f} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {p} )}{\partial x_{1}}},\cdots ,{\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {p} )}{\partial x_{n}}}\right)$

我们可以通过将梯度与 d 的点积来形成点 p 处沿方向 d 的方向导数

${\partial \mathbf {f} (\mathbf {p} ) \over \partial \mathbf {d} }=\mathbf {d} \cdot \nabla \mathbf {f} (\mathbf {p} )$.

请注意，grad f 看起来像是向量乘以标量。这种偏导数的特殊组合很常见，所以我们将其简写为

$\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$

我们可以将取梯度向量的操作写成一个运算符。回想一下，在一元情况下，我们可以将 d/dx 写成对 x 求导的操作。这种情况类似，但 ∇ 像向量一样起作用。

我们也可以将取梯度向量的操作写成

$\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\cdots {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)$

梯度向量的性质

几何

• Grad f(p) 是一个指向 f 最陡斜率方向的向量。|grad f(p)| 是该点该斜率的变化率。

例如，如果我们考虑 h(x, y)=x²+y²。h 的等高线是同心圆，圆心在原点，并且

$\nabla h=(h_{x},h_{y})=2(x,y)=2\mathbf {r}$

grad h 指向远离原点的方向，与等高线垂直。

• 沿着等高线，(∇f)(p) 垂直于等高线 {x|f(x)=f(p) 在 x=p}。

如果 dr 指向沿着 f 的等高线，其中函数是常数，则 df 将为零。由于 df 是点积，这意味着两个向量 df 和 grad f 必须垂直，即梯度垂直于等高线。

代数性质

就像 d/dx 一样，∇ 是线性的。对于任何一对常数 a 和 b，以及任何一对标量函数 f 和 g

${\frac {d}{dx}}(af+bg)=a{\frac {d}{dx}}f+b{\frac {d}{dx}}g\quad \nabla (af+bg)=a\nabla f+b\nabla g$

由于它是一个向量，我们可以尝试对它和其他向量以及自身进行点积和叉积。

乘积法则和链式法则

就像普通微分一样，对于 grad、div 和 curl 都有乘积法则。

• 如果 g 是标量，v 是向量，则

gv 的散度为

$\nabla \cdot (g\mathbf {v} )=g\nabla \cdot \mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )g$

gv 的旋度为

$\nabla \times (g\mathbf {v} )=g(\nabla \times \mathbf {v} )+(\nabla g)\times \mathbf {v}$

• 如果 u 和 v 都是向量，则

它们的点积的梯度为

$\nabla (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )=\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {u} )+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {u}$

它们的叉积的散度为

$\nabla \cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {v} \cdot (\nabla \times \mathbf {u} )-\mathbf {u} \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )$

它们的叉积的旋度为

$\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\mathbf {u} (\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mathbf {v} (\nabla \cdot \mathbf {u} )$

我们也可以写链式法则。在一般情况下，当两个函数都是向量，并且它们的复合定义时，我们可以使用之前定义的雅可比矩阵。

$\left.\nabla \mathbf {u} (\mathbf {v} )\right|_{\mathbf {r} }=\mathbf {J} _{\mathbf {v} }\left.\nabla \mathbf {v} \right|_{\mathbf {r} }$

其中，J_u 是 u 在点 v 处的雅可比矩阵。

通常，J 是一个矩阵，但如果 u 的值域或定义域是 R¹，那么它就会变成一个向量。在这些特殊情况下，我们只需要使用向量表示法就可以简洁地写出链式法则。

• 如果 g 是一个关于向量的标量函数，而 h 是关于 g 的标量函数，那么

$\nabla h(g)={\frac {dh}{dg}}\nabla g$

• 如果 g 是一个关于向量的标量函数，那么

$\nabla =(\nabla g){\frac {d}{dg}}$

这个替换可以在任何包含 ∇ 的方程中进行。

积分

我们已经考虑了多变量函数的微分，这让我们考虑如何有意义地看待积分。

在单变量情况下，我们把函数的定积分解释为函数下方的面积。在多变量情况下也有类似的解释：例如，如果我们在 R³ 中有一个抛物面，我们可能希望查看该抛物面在 xy 平面上的某个区域上的积分，这将是该曲线下方并位于该区域内的 体积。

黎曼和

在查看这些积分形式时，我们查看黎曼和。回想一下，在单变量情况下，我们将要积分的区间分成矩形，并将这些矩形的面积相加，它们的宽度越来越小。对于多变量情况，我们需要做类似的事情，但问题在于如何划分 R² 或 R³，例如。

为此，我们扩展了区间的概念，并考虑了我们所谓的 n-区间。一个 n-区间是某个矩形区域内的一组点，每个维度上都有固定宽度的边，即形式为 {x∈Rⁿ|a_i ≤ x_i ≤ b_i，其中 i = 0,...,n} 的集合，其面积/大小/体积（为了避免混淆，我们简单地称之为 测度）是其所有边长的乘积。

因此，在 R² 中的一个 n-区间可能是平面的某个矩形划分，例如 {(x,y) | x ∈ [0,1] 且 y ∈ [0, 2]|}。它的测度为 2。

如果我们要考虑黎曼和，现在是在区域 Ω 的子 n-区间方面，它是

$\sum _{i;S_{i}\subset \Omega }f(x_{i}^{*})m(S_{i})$

其中，m(S_i) 是将 Ω 分成 k 个子 n-区间 S_i 的测度，x^*_i 是 S_i 中的一个点。索引很重要 - 我们只在 S_i 完全位于 Ω 内时执行求和 - 任何不完全包含在 Ω 内的 S_i 我们都忽略。

当我们将 k 趋于无穷大时，也就是说，我们将 Ω 分成越来越细的子 n-区间，而这个和无论我们如何划分 Ω 都是一样的，我们得到了 f 在 Ω 上的 积分，我们记作

$\int _{\Omega }f$

对于二维，我们可以写成

$\int \int _{\Omega }f$

类似地，对于 n 维。

重复积分

谢天谢地，我们并不总是需要每次计算多变量积分时都使用黎曼和。有一些结果让我们生活更轻松。

对于R²，如果我们有一个区域位于另一个变量的两个函数之间（所以两个函数的形式为f(x) = y或f(y) = x），在常数边界之间（所以，在x = a和x =b或y = a和y = b之间），我们有

$\int _{a}^{b}\,\int _{f(x)}^{g(x)}h(x,y)\,dydx$

一个重要的定理（称为Fubini 定理）向我们保证这个积分与以下积分相同

$\int \int _{\Omega }f$,

如果 f 在积分域上是连续的。