电路理论/相量

相量

变量

变量的定义方式相同。但存在差异。以前变量要么是“已知”，要么是“未知”。现在有一种介于两者之间的概念。

此时，需要回顾常数函数（一个数字）和变量函数（随时间变化）的概念。参见此 学生教授 对话。已知量以函数形式描述，未知量根据已知量计算，也是函数。

例如

$v(t)=M_{v}\cos(\omega t+\phi _{v})$ 随时间变化的电压

这里 $v(t)$ 是函数的符号。它被分配给符号 $M_{v},\omega ,\phi _{v}$ 和 $t$ 的函数。通常情况下，时间永远不会被求解。

时间仍然是未知数。此外，所有的功率、电压和电流都变成了时间的方程。时间没有被求解。由于时间无处不在，它可以从方程中消除。积分和导数变成了代数，答案可以是纯粹的数值（在时间被加回来之前）。

在最后时刻，时间被放回电压、电流和功率，最终的解是时间的函数。

本课程中的大部分数学都有这些步骤

1. 在时域中描述已知量和未知量，描述所有方程
2. 将已知量改为相量，消除方程中的导数和积分
3. 在相量域中以数值或符号方式求解未知量
4. 将未知量转换回时域

无源电路输出类似于输入

如果线性电路的输入是正弦波，那么电路的输出将是正弦波。具体来说，如果我们有一个电压正弦波，如下所示

$v(t)=M_{v}\cos(\omega t+\phi _{v})$

那么通过线性电路的电流也将是正弦波，尽管它的幅度和相位可能不同

$i(t)=M_{i}\cos(\omega t+\phi _{i})$

请注意，电压和电流都是具有相同角频率但幅度和相位角不同的正弦波。无源电路元件不能改变正弦波的频率，只能改变幅度和相位。那么为什么我们需要在每个方程中写 $\omega$，而它并没有改变？同样，为什么我们需要写出 cos( ) 函数，如果它也从未改变？对这些问题的答案是，我们不需要每次都写这些东西。相反，工程师已经创造了一种简写这些函数的方法，称为“相量”。

相量变换

相量是一种“变换”。我们正在对电路数学进行变换，使时间消失。想象一下，到一个时间不存在的地方去。

我们知道，每个函数都可以写成一系列不同频率和幅度的正弦波叠加。(搜索傅里叶变换动画)。整个世界可以用正弦波构建。因为正弦波是周期性的，所以你看它的时候具体的时间并不重要；重要的是你相对于周期的起始位置在哪里。这里，我们只看一个正弦波，它周期性的性质 ($\omega$) 被剥离了。剩下的就是相量。因为时间是由圆组成的，如果我们只考虑这些圆中的一个，我们可以进入一个时间不存在，圆是“东西”的世界。不要用“世界”这个词，而要用“域”或“平面”来代替，就像二维那样。

相量域中的数学几乎与直流电路分析相同。这很方便，因为它意味着你不必每次要解决电路时都去解微分方程。不同之处在于，电感和电容的影响需要考虑在内。

变换到相量平面或域以及从时间变换回来是基于欧拉公式。这也是你在过去数学课上学过虚数的原因。

欧拉公式

欧拉公式

欧拉从这三个级数开始。显然它们之间存在关系

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots$

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots$

$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots$

他做了以下操作

$e^{ix}=1+ix+{\frac {i^{2}x^{2}}{2!}}+{\frac {i^{3}x^{3}}{3!}}+{\frac {i^{4}x^{4}}{4!}}+{\frac {i^{5}x^{5}}{5!}}+\cdots$

$e^{ix}=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-i{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+i{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-i{\frac {x^{7}}{7!}}\cdots$

$e^{ix}=(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots )+i(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots )$

$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$

令 x = π，则

$e^{i\pi }=-1$

欧拉公式在数学、物理和工程领域中无处不在。物理学家理查德·费曼称该公式为“我们的珍宝”和“所有数学中最非凡、最令人惊叹的公式之一”。

欧拉公式的更一般形式为

$Me^{j(\omega t+\phi )}=M\cos(\omega t+\phi )+jM\sin(\omega t+\phi )$

这个公式使我们能够将正弦波视为复指数函数。用角频率和相位角表示的电压、电流或功率的循环函数会变成在相量域/平面上具有长度$\mathbb {C}$（幅度）和角度$\phi$（相位）的箭头，或者在复数域/平面上具有实数($X$) 和虚数($Y$) 坐标的点。

一般来说，相量$\mathbb {C}$（可以是电压、电流或功率）可以写成

$\mathbb {C} =X+jY$（直角坐标）

$\mathbb {C} =M_{v}\angle \phi$（极坐标）

我们可以在复数平面上绘制点 (X, Y)，并绘制一条指向该点的箭头，以显示$X,Y,\mathbb {C}$ 和$\phi$之间的关系。

利用这个事实，我们可以通过函数得到复数平面原点到点 (X, Y) 的角度

[角度方程]

$\theta _{C}=\arctan({\frac {Y}{X}})$

并且利用勾股定理，我们可以求得 C 的幅度 - 原点到点 (X, Y) 的距离 - 为

[勾股定理]

$M_{C}=|\mathbb {C} |={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$.

相量符号

相量不包含频率信息或偏移量，因此请确保将频率和偏移量记录在安全的地方。

假设在时域中

$v(t)=M_{v}e^{j(\omega t+\phi )}$

在相量域中，这个电压表示如下

$\mathbb {V} =M_{v}\angle \phi$

径向速度 $\omega$ 从已知函数中消失（不包括导数和积分运算），并在未知数的时间表达式中重新出现。

不是向量？

有些人认为相量是向量。要小心。相量图在灵感、数学或概念方面都不如向量空间或场空间丰富。相量只是一个数字，可能是一个复数。相量图用于“解释”什么是复数。相量可以进行除法、乘法、加法和减法。它们是一维的。

相量的数学与普通数学完全相同，只是使用复数。向量需要新的数学运算，例如点积和叉积。例如，可以将北除以东，或从西中减去吗？

有关更多详细信息，请参见 http://en.wikipedia.org/wiki/Phasor_(electronics) 或阅读关于此争议的资料 https://www.quora.com/What-is-difference-b-w-phasor-diagram-and-vector-diagram

• 向量的点积用于求一个向量在另一个向量上的投影。
• 向量的叉积将两个向量合成一个垂直于这两个向量的第三个向量。

这些乘积适用于相量，例如，可以在电机定子和转子的交流电流相量中观察到，其结果是产生扭矩，所有这些都可以通过向量乘积精确地表示。

余弦约定

在本手册中，所有相量都对应于余弦函数，而不是正弦函数。

务必记住相量映射到哪个三角函数。由于相量只包含幅度和相角信息，因此无法知道给定的相量映射到 sin( ) 函数还是 cos( ) 函数。按照惯例，本维基手册和大多数电子文本/文档都映射到余弦函数。

如果最终得到一个 sin 答案，可以通过减去 90 度将其转换为 cos

$\sin(\omega t+\phi )=\cos(\omega t+\phi -{\frac {\pi }{2}})$

如果您的仿真器要求源采用 sin 形式，但起点是 cos，则可以通过添加 90 度将其转换为 sin

$\cos(\omega t+\phi )=\sin(\omega t+\phi +{\frac {\pi }{2}})$

相量概念

在相量域内，概念出现并被命名。电感器和电容器可以通过其导数算子变换进行耦合，并表现为称为“电抗”的虚阻。电阻和电抗的组合称为“阻抗”。阻抗可以在代数上被视为相量，尽管技术上并非如此。功率概念，如实功率、无功功率、视在功率和功率因数，在相量域中出现。可以在相量域中进行数值计算。可以在相量域中进行符号操作。

相量数学

关于相量的更多信息，请参见
附录

相量数学演变成复数数学，下面将对其进行回顾。

相量 A 可以乘以相量 B

[相量乘法]

$\mathbb {A} \times \mathbb {B} =(M_{a}\times M_{b})\angle (\phi _{a}+\phi _{b})$

相角相加，因为在时域中，它们是两个相乘事物的指数。

[相量除法]

$\mathbb {A} /\mathbb {B} =(M_{a}/M_{b})\angle (\phi _{a}-\phi _{b})$

同样，相角被视为指数，因此它们相减。

相量的幅度和角度形式不能用于加法和减法。为此，我们需要将相量转换为直角坐标形式。

$\mathbb {C} =X+jY$

以下是将极坐标形式（幅度和角度）转换为直角坐标形式（实部和虚部）的方法。

$X=M\cos(\phi )$, $Y=M\sin(\phi )$

转换到直角坐标形式后

• 实部相加或相减
• 虚部相加或相减

[相量加法]

$\mathbb {C} =\mathbb {A} +\mathbb {B} =(X_{A}+X_{B})+j(Y_{A}+Y_{B})=X_{C}+jY_{C}$

以下是将直角坐标系形式转换为极坐标系形式的方法

$\mathbb {C} =M_{c}\angle \phi _{c}={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\angle \arctan({\frac {Y}{X}})$

一旦转换为极坐标形式，转换回时域就很容易了

$\operatorname {Re} (Me^{j(\omega t+\phi )})=M\cos(\omega t+\phi )$

函数变换推导

$g(t)$ 代表电压、电流或功率。

$g(t)=G_{m}cos(\omega t+\phi )$ 起点

$g(t)=G_{m}\operatorname {Re} (e^{j(\omega t+\phi )})$ 来自欧拉公式

$g(t)=G_{m}\operatorname {Re} (e^{j\phi }e^{j\omega t})$ 指数定律

$g(t)=\operatorname {Re} (G_{m}e^{j\phi }e^{j\omega t})$ .... $G_{m}$ 是一个实数，所以它可以移到里面

$g(t)=\operatorname {Re} (\mathbb {G} e^{j\omega t})$ $....\mathbb {G}$ 是相量定义，这里它是一个表达式，代替了 $G_{m}e^{j\phi }$

$g(t)\Leftrightarrow \mathbb {G}$ 其中 $\mathbb {G} =G_{m}e^{j\phi }$

对 $e^{j\omega t}$ 项会怎样？长答案。它会一直保留，直到需要转换回时域。因为它是指数，而且所有相量运算都是与指数相关的代数运算，所以最终的相量可以乘以它。然后表达式实部的值就是时域解。

时域	变换	相量域
$Acos(\omega t)$	$\Leftrightarrow$$\Leftrightarrow$ 证明	$A$
$Asin(\omega t)$	$\Leftrightarrow$$\Leftrightarrow$ 证明	$-Aj$
$Acos(\omega t)+Bsin(\omega t)$	$\Leftrightarrow$	$A-Bj$
$Acos(\omega t)-Bsin(\omega t)$	$\Leftrightarrow$	$A+Bj$
$Acos(\omega t+\phi )$	$\Leftrightarrow$$\Leftrightarrow$ 证明	$Acos(\phi )+Asin(\phi )j$
$Asin(\omega t+\phi )$	$\Leftrightarrow$ 证明	$Asin(\phi )-Acos(\phi )j$
$Acos(\omega t-\phi )$	$\Leftrightarrow$ 证明	$Acos(\phi )-Asin(\phi )j$
$Asin(\omega t-\phi )$	$\Leftrightarrow$ 证明	$-Asin(\phi )-Acos(\phi )j$

在上述所有情况下，请记住 $\phi$ 是一个常数，在大多数情况下是一个已知值。因此，相量在大多数计算中是一个复数。

在“相量微积分”中讨论了与导数相关的另一种变换。

将微积分运算符转换为相量

当正弦量表示为相量时，微分方程变为代数。这个结果来自于复指数是操作的 特征函数 的事实

${\frac {d}{dt}}(e^{j\omega t})=j\omega e^{j\omega t}$

也就是说，只有复振幅被导数运算改变。取上述方程两边的实部，得到熟悉的结论

${\frac {d}{dt}}\cos {\omega t}=-\omega \sin {\omega t}\,$

因此，当正弦量被转换为相量域时，其时间导数变为代数

${d \over dt}i(t)\rightarrow j\omega \mathbb {I}$（j 是 -1 的平方根或虚数）

类似地，当转换为相量域时，时间积分是

$\int V(t)dt\rightarrow {\frac {\mathbb {V} }{j\omega }}$

在转换回时域时，需要处理一个积分常数。它不会消失。

以上结论适用于电压、电流和功率。

问题是为什么这有效？证明在哪里？我们来进行三次证明：一次针对电阻，一次针对电感，最后一次针对电容。通过端子的电流和电压符号为：$V_{m}cos(\omega t+\phi _{v})$ 和 $I_{m}cos(\omega t+\phi _{I})$

电阻端子方程

$V=RI$ . 端子关系

$V_{m}cos(\omega t+\phi _{V})=RI_{m}cos(\omega t+\phi _{I})$ .. 代入示例函数

$V_{m}e^{\omega t+j\phi _{V}}=RI_{m}e^{\omega t+j\phi _{I}}$ .. 欧拉形式的端子关系

$V_{m}e^{\omega t}e^{j\phi _{V}}=RI_{m}e^{\omega t}e^{j\phi _{I}}$ .. 指数律

$V_{m}{\cancel {e^{\omega t}}}e^{j\phi _{V}}=RI_{m}{\cancel {e^{\omega t}}}e^{j\phi _{I}}$ .. 对等号两边进行相同操作

$V_{m}e^{j\phi _{V}}=RI_{m}e^{j\phi _{I}}$ .. 时域结果

$\mathbb {V} =R\mathbb {I}$ .. 相量表达式

只需将电压和电流表示为相量形式，并进行代入，将方程迁移到相量域。

电感端子方程

$V=L{\frac {d}{dt}}I$ ... 端子关系

$V_{m}cos(\omega t+\phi _{V})=L{\frac {d}{dt}}(I_{m}cos(\omega t+\phi _{I}))$ .. 代入一般正弦函数

$V_{m}cos(\omega t+\phi _{V})=-\omega LI_{m}sin(\omega t+\phi _{I})$ .. 求导

$-sin(\omega t+\phi _{I})=cos(\omega t+\phi _{I}+{\frac {\pi }{2}})$ .. 三角函数

$V_{m}cos(\omega t+\phi _{V})=\omega LI_{m}cos(\omega t+\phi _{I}+{\frac {\pi }{2}})$ .. 代入

$V_{m}\operatorname {Re} (e^{j(\omega t+\phi _{V})})=\omega LI_{m}\operatorname {Re} (e^{j(\omega t+\phi _{I}+{\frac {\pi }{2}})})$ 根据欧拉公式

$V_{m}\operatorname {Re} (e^{j\omega t}e^{j\phi _{V}})=\omega LI_{m}\operatorname {Re} (e^{j\omega t}e^{j\phi _{I}}e^{j{\frac {\pi }{2}}})$ 指数法则

$\operatorname {Re} (V_{m}e^{j\phi _{V}}{\cancel {e^{j\omega t}}})=\operatorname {Re} (e^{j{\frac {\pi }{2}}}\omega LI_{m}e^{j\phi _{I}}{\cancel {e^{j\omega t}}})$ .... 实数可以移到里面

$e^{j{\frac {\pi }{2}}}=cos({\frac {\pi }{2}})+j*sin({\frac {\pi }{2}})=j$ ... 代入上式

$\mathbb {I} =I_{m}e^{j\phi _{I}}$ 以及 $\mathbb {V} =V_{m}e^{j\phi _{V}}$ .. 代入上式

在等式两边消去$e^{j\omega }$ 项。

$\operatorname {Re} (\mathbb {V} e^{j\omega t})=\operatorname {Re} (j\omega L\mathbb {I} e^{j\omega t})$ .... 相量定义。

$\mathbb {V} =j\omega L\mathbb {I}$ .... 等式转换为相量域。

结论，将电压和电流表示为相量形式，用$j\omega$ 代替${\frac {d}{dt}}$，将等式转换为相量域。

电容器端电压方程

电容器的基本形式与电感器相同，V 和 I 交换位置，用 C 代替 L。

$I=C{\frac {d}{dt}}V$ ... 端电压关系

$I_{m}cos(\omega t+\phi _{I})=C{\frac {d}{dt}}(V_{m}cos(\omega t+\phi _{V}))$ .. 代入一般正弦函数。

$I_{m}cos(\omega t+\phi _{I})=-\omega CV_{m}sin(\omega t+\phi _{V})$ .. 求导。

$-sin(\omega t+\phi _{V})=cos(\omega t+\phi _{V}+{\frac {\pi }{2}})$ .. 三角函数。

$I_{m}cos(\omega t+\phi _{I})=\omega CV_{m}cos(\omega t+\phi _{V}+{\frac {\pi }{2}})$ .. 代入。

$I_{m}\operatorname {Re} (e^{j(\omega t+\phi _{I})})=\omega CV_{m}\operatorname {Re} (e^{j(\omega t+\phi _{V}+{\frac {\pi }{2}})})$ 来自欧拉公式。

$I_{m}\operatorname {Re} (e^{j\omega t}e^{j\phi _{I}})=\omega CV_{m}\operatorname {Re} (e^{j\omega t}e^{j\phi _{V}}e^{j{\frac {\pi }{2}}})$ 指数定律

$\operatorname {Re} (I_{m}e^{j\phi _{I}}{\cancel {e^{j\omega t}}})=\operatorname {Re} (e^{j{\frac {\pi }{2}}}\omega CV_{m}e^{j\phi _{V}}{\cancel {e^{j\omega t}}})$ ... 实数可以移入

$e^{j{\frac {\pi }{2}}}=cos({\frac {\pi }{2}})+j*sin({\frac {\pi }{2}})=j$ ... 代入上式

$\mathbb {V} =V_{m}e^{j\phi _{V}}$ 以及 $\mathbb {I} =I_{m}e^{j\phi _{I}}$.. 代入上式

在等式两边消去$e^{j\omega }$ 项。

$\operatorname {Re} (\mathbb {I} e^{j\omega t})=\operatorname {Re} (j\omega C\mathbb {V} e^{j\omega t})$ .... 相量定义

$\mathbb {I} =j\omega C\mathbb {V}$ .... 方程转换为相量域

结论，将电压和电流表示为相量形式，用$j\omega$ 代替${\frac {d}{dt}}$，将等式转换为相量域。

总之，所有终端关系都具有 $e^{j\omega }$ 项，它们会相互抵消

$V_{m}e^{j\phi }{\cancel {e^{j\omega t}}}=I_{m}e^{j\phi }{\cancel {e^{j\omega t}}}*R$

$\mathbb {V} =\mathbb {I} R$

$V_{m}e^{j\phi }{\cancel {e^{j\omega t}}}=I_{m}e^{j\phi }{\cancel {e^{j\omega t}}}*j\omega *L$

$\mathbb {V} =\mathbb {I} j\omega L$

$I_{m}e^{j\phi }{\cancel {e^{j\omega t}}}=V_{m}e^{j\phi }{\cancel {e^{j\omega t}}}*j\omega *C$

$\mathbb {I} =\mathbb {V} j\omega C$

这种探究/逻辑/思考路径的有趣之处在于，一个新的概念出现了

器件	${\frac {\mathbb {V} }{\mathbb {I} }}$	${\frac {\mathbb {I} }{\mathbb {V} }}$
电阻	$R$	${\frac {1}{R}}$
电容	${\frac {1}{j\omega C}}$	$j\omega C$
电感器	$j\omega L$	${\frac {1}{j\omega L}}$

不抵消的 $j\omega$ 项来自端点关系中的导数项。这些导数项与电容和电感器本身有关，而不是与电源有关。虽然导数应用于电源，但导数起源的独立器件（电容或电感器）在变换后保留了其特性！因此，如果我们将驱动力的 ${\frac {output}{input}}$ 比值保留在等号一边，我们可以将等号另一边视为一个函数！这些函数有一个名字... 传递函数。当我们根据 R、L 和 C 分析电压/电流比值时，我们可以扫描 $\omega$ 通过各种驱动源频率，或者保持频率恒定并扫描各种电感值... 我们可以分析电路响应！

注意：传递函数是本课程的整一个部分。它们也会在机械工程控制系统课程中出现。两者之间有相似之处。驶过一个颠簸就像一次涌浪或尖峰。驶过一个路缘就像接通一个电路。当机械工程师研究振动时，他们会处理正弦驱动函数，但他们处理的是三维物体，而不是像本课程中那样的一维物体。

相量域到时域

回到时域就简单多了。在相量域中完成方程运算并找到$\mathbb {V}$ 和 $\mathbb {I}$ 后，目标是将它们转换为 $V$ 和 $I$。

相量解将具有形式 $\mathbb {G} =A+Bj=G_{m}e^{j\phi }$，你现在应该能够在两种解的形式之间进行转换。然后

$G=\operatorname {Re} (\mathbb {G} e^{j\omega t})=\operatorname {Re} (G_{m}e^{j\phi }e^{j\omega t})=\operatorname {Re} (G_{m}e^{j(\omega t+\phi )})=G_{m}cos(\omega t+\phi )$

如果相量数学中涉及积分，则需要在时域解中添加一个常数。时间常数根据初始条件计算。如果解不涉及微分方程，则时间常数立即计算。否则，解被视为特解，时间常数是在找到齐次解的大小后计算的。有关更多详细信息，请参阅相量示例。

未涵盖的内容

还有另一种思考电路的方法，其中电感器和电容器是复阻抗。这个想法是

阻抗 = 电阻 + j * 电抗

或符号表示为

$Z=R+j*X$

这里，导数附加在电感和电容上，而不是像我们那样附加在端点方程上。这将解决电路问题的数学运算分散到更小的部分中，更易于检查，但也使符号解更加复杂，并且可能导致数值解误差由于中间计算而累积。

相量概念无处不在。如果你参与到涉及 "短截线" 的微波项目或涉及 "负载线圈" 的天线项目，将来你将需要学习它……名单很长。

这里的目标是避免 电导、电抗、阻抗、电纳和导纳 的概念……并避免在尝试将相量数学与微积分和拉普拉斯变换进行比较时，将这些概念联系起来所带来的困惑。

相量表示法

记住，相量表示一个可以以多种方式显示的单个值。

$\mathbb {C} =M\angle \phi$ "极坐标表示法"

$C=Me^{j(\omega t+\phi )}$ "指数表示法"

$\mathbb {C} =A+jB$ "矩形表示法"

$C=M\cos(\omega t+\phi )+jM\sin(\omega t+\phi )$ "时域表示法"

这 4 种表示法只是写同一个东西的不同方式。

相量符号

在黑板上或纸上书写时，使用带帽符号 ${\hat {V}}$ 表示相量。预计在书籍和网络上会有不同的表示方法。

• $\mathbb {V}$ （我们在这本维基教科书中使用的粗体大字）
• ${\bar {V}}$ （“bar”表示法，维基百科使用）
• ${\vec {V}}$ （不好... 只适用于向量... 向量箭头表示法）
• ${\tilde {V}}$ （一些教科书）
• ${\hat {V}}$ （一些教科书）

微分方程

相量生成特解

相量可以替代微积分，可以替代拉普拉斯变换，可以替代三角函数。但它们不能做的一件事是：初始条件/积分常数。当使用相量和拉普拉斯变换，或相量和微积分求解问题时，答案的差异将是一个积分常数。

本课程中微分方程的求解分为三个步骤

• 找到特解... 特别是针对驱动函数... 特别是针对电压或电流源
• 找到齐次解... 无论驱动函数是什么，该解都相同... 该解探讨了电路中初始能量不平衡如何平衡
• 确定系数，从初始条件计算积分常数

相量不生成积分常数

积分常数不会出现在相量解中。但它们会出现在相量解的拉普拉斯变换和微积分替代方案中。如果要求解完整的微分方程，必须注意相量在何处无法创建未知积分常数的符号... 该常数在第三步中计算出来。

相量是用于求解特定交流解的技术。积分常数记录了电路中的初始直流偏置或能量差异。要找到这些常数，首先需要找到齐次解，它处理电容器在电路首次接通时可能充电也可能不充电的事实。相量并不能完全替代微分方程的步骤。相量只是替代了第一步：求解特解。

微分方程回顾

目标是使用相量、微积分和拉普拉斯变换求解一阶和二阶常微分方程 (ODE)。这样就可以将相量解与先修或同修数学课程的内容进行比较。目标是使用数字和符号工具（如 matLab 和 mupad/mathematica/wolframalpha）求解这些问题。如果您已经修过微分方程课程，这将是一次快速回顾。

最重要的是理解函数的本质。三角函数、微积分、拉普拉斯变换和相量都与函数相关，而不是代数。如果您不了解代数和函数之间的区别，也许这个 学生教授 对话会有所帮助。

我们从端子定义、回路和节点的方程开始。这些代数方程中的每个符号都是一个函数。我们不是在变换方程。我们是在变换这些方程中的函数。这些方程中出现了各种运算符，包括 + - * / 和 ${\frac {d}{dt}}$。第一个表格重点介绍了这些运算符的变换。第二个重点介绍了函数本身的变换。

拉普拉斯变换的真正威力在于它消除了积分和微分运算符。然后可以变换函数本身。然后可以用代数求解未知数。然后可以将函数变换回时域函数。

以下是一些 属性和定理，用于变换本课程中典型的正弦电压、功率和电流。

拉普拉斯运算符变换

单边拉普拉斯变换的属性

	时域	's'域	评论
时间缩放	$f(at)$	${\frac {1}{|a|}}F\left({s \over a}\right)$	用于了解 $\omega$ 如何影响方程
时间偏移	$f(t-a)u(t-a)\$	$e^{-as}F(s)\$	u(t) 是单位阶跃函数。用于计算 $\phi$ 相位角
线性	$af(t)+bg(t)\$	$aF(s)+bG(s)\$	可以使用基本积分规则证明。
微分	$f'(t)\$	$sF(s)-f(0)\$	假设 f 是可微函数，并且它的导数是指数类型的。这可以通过分部积分得到。
积分	$\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =(u*f)(t)$	${1 \over s}F(s)$	最后也会出现一个常数。

拉普拉斯函数变换

以下是本课程中需要的一些 变换

函数	时域 $f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}$	拉普拉斯 s 域 $F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}$	收敛域	参考
指数衰减	$e^{-\alpha t}\cdot u(t)\$	${1 \over s+\alpha }$	Re(s) > −α	频率偏移 单位阶跃
指数逼近	$(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\$	${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}$	Re(s) > 0	单位阶跃减去 指数衰减
正弦	$\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}$	Re(s) > 0
余弦	$\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}+\omega ^{2}}$	Re(s) > 0
指数衰减 正弦波	$e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	Re(s) > −α
指数衰减 余弦波	$e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	Re(s) > −α