高中数学扩展

引言

孩子刚开始学习数字时，就会对大数字感兴趣，一百万、十亿、一兆。他们甚至会编造自己的数字，比如一兆等等。孩子提出的第一个数学问题往往是“最大的数字是什么？”这通常会导致一个简短的解释，即有无穷多个数字。

但无穷大有很多不同的 *类型* - 实际上，无穷大的类型是无限的！本章将试图解释这些类型中的一些类型以及它们之间的区别。

有限集和无限集

曾经有一位名叫格奥尔格·康托尔的数学家，他在 19 世纪后期创建了一个名为 **集合论** 的新的数学分支。集合论涉及数字或对象的集合。这里有一个集合

\{1,2,3,4,5\}

这个集合包含五个元素，即前五个自然数。现在考虑集合

\{6,7,8,9,10\}

这两个集合的大小相同吗？是的，它们是相同的。这是因为它们都包含五个元素。正如我们稍后将看到的，这种比较大小的方法并不适用于所有集合。比较集合大小的另一种方法是将集合中的元素一一匹配。

想象一个想要将自己拥有的弹珠数量与哥哥的弹珠数量进行比较的小孩子。假设她不会数到十以外的数字。她仍然可以通过将他们的弹珠排成两条平行线来比较他们的弹珠集合的大小。左侧的线包含她的弹珠，而右侧的线包含她哥哥的弹珠。如果左侧的每个弹珠都与右侧的恰好一个弹珠对齐，那么他们俩的弹珠数量就一样多。

我们可以使用相同的想法来比较无限集。如果我们可以找到一种方法将集合 A 的一个成员与集合 B 的一个成员配对，并且如果集合 A 中没有成员在集合 B 中没有对应，反之亦然，那么我们可以说集合 A 和集合 B 具有相同数量的成员。形式上，如果存在一个函数 $f$ ，使得对于 $A$ 中的每一个 $a$ ，都有 $f(a)$ 在 $B$ 中，而且，对于 $B$ 中的每一个 $b$ ，都存在一个 $a$ 在 $A$ 中，使得 $f(a)=b$ 。

例子

考虑我们之前的例子。我们想知道集合 $\{1,2,3,4,5\}$ 和 $\{6,7,8,9,10\}$ 是否具有相同的大小。我们可以创建以下匹配。

1	6
2	7
3	8
4	9
5	10

例子

设集合 N 为所有自然数。N 被称为自然数集。1,2,3,4,5,6,... 等等。设集合 B 为负数 -1,-2,-3, ... 等等。N 和 B 的成员可以配对吗？正式的说法是“A 和 B 可以一一对应吗”？

答案显然是肯定的。集合 N 中的 1 对应于集合 B 中的 -1。同样地

N B

1 -1

2 -2

3 -3

等等。这里，从 A 到 B 的一一映射函数是 $f(x)=-x$ 。

自然数集非常有用，以至于任何可以与它一一对应的集合都被称为 可数无限。

例子

整数集包含集合 N、集合 B 和元素 0 中的所有元素。也就是说

{... -3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, ...}

整数集通常用 Z 表示。注意，N 是自然数集，是 Z 的子集。N 中的所有成员都在 Z 中，但 Z 中并非所有成员都在 N 中。

整数集是可数无限的吗？ 换句话说，整数集可以与所有自然数集一一对应吗？

由于 N 集包含在 Z 集中，我们可能会认为这两个集合的大小不同。然而，我们可以

Z N

0 1

-1 2

1 3

-2 4

等等。我们可以将这种一一对应关系写成一个函数

$f(x)=\left\{{\begin{array}{cl}{\frac {x-1}{2}}&x{\text{ is odd}}\\{\frac {-x}{2}}&x{\text{ is even}}\end{array}}\right.$

我们可以验证这个函数从自然数集 N 中生成所有整数集 Z 中的整数。

确实很奇怪！Z 的一个子集（即自然数）与 Z 本身具有相同的大小！无限集不像普通的有限集。事实上，这有时被用作无限集的定义。**一个无限集是指任何可以与它的至少一个子集建立一一对应关系的集合**。人们有时不用“集合的成员数量”，而是使用**基数**或**基数值**。Z 和 N 被认为具有相同的基数。

练习

偶数的数量与自然数的数量相同吗？
平方数的数量呢？
小于 100 的正偶数的基数等于小于 100 的自然数的基数吗？哪个集合更大？你怎么知道？有限集在哪些方面与无限集不同？

有理数集比 N 大吗？

在本节中，我们将看看是否能找到一个比我们迄今为止看到的可数无限大的集合还要大的集合。为了说明这个想法，我们可以想象一个故事。

曾经有一个罪犯被关进了监狱。监狱不是一个好地方，所以这个可怜的罪犯找到了监狱长，恳求她被释放。她回答道

"好吧——我正在想一个数字，你每天都可以尝试猜它。如果你猜对了，你就可以离开。"

现在问题是——罪犯能让自己逃出监狱吗？（在你继续阅读之前，先考虑一下这个问题）

很明显，这取决于这个数字。如果监狱长选择一个自然数，那么罪犯在第一天猜 1，第二天猜 2，以此类推，直到他猜到正确的数字。同样地，对于整数，第一天猜 0，第二天猜 -1，第三天猜 1，以此类推。如果这个数字非常大，那么可能需要很长时间才能出狱，但他最终会出狱。

监狱长需要做的是选择一个不可数的集合。想象一下一条数轴。整数之间间隔很大。例如，在整数 0 和 1 之间有许多数字。因此，我们需要关注更密集的集合。第一个大多数人想到的集合是分数。在 0 和 1 之间有无限多个分数，因此分数一定比整数多？是否可以计算分数？让我们思考一下这个可能性。如果我们尝试用计算 0 到 1 之间的所有分数然后继续计算 1 到 2 之间的所有分数，以此类推，我们会失败，因为我们永远无法完成计算到 1 的分数（有无限多个）。但这是否意味着它们不可数？想想整数的情况。按顺序排列……-2，-1，0，1，2……使得它们无法计数，但将它们重新排列为 0，-1，1，-2，2……允许它们被计数。

事实上，有一种方法可以对分数进行排序以允许它们被计数。在我们继续之前，让我们回到正常的数学语言。数学家使用术语*有理数*来定义我们一直在称之为分数的东西。有理数是指任何可以写成 p/q 形式的数，其中 p 和 q 是整数。因此 3/4 是有理数，-1/2 也是有理数。所有有理数的集合通常称为 Q。注意，Z 是 Q 的一个子集，因为任何整数都可以除以 1 以将其变为有理数。例如，数字 3 可以写成 p/q 形式，即 3/1。

现在，由于 Q 中的所有数字都由两个数字 p 和 q 定义，因此将 Q 写成表格形式是有意义的。

${\begin{matrix}{\frac {1}{1}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&\cdots \\&&\\{\frac {2}{1}}&{\frac {2}{2}}&{\frac {2}{3}}&\cdots \\&&\\{\frac {3}{1}}&{\frac {3}{2}}&{\frac {3}{3}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{matrix}}$

注意，这个表格不是 Q 的精确表示。它只包含 Q 的正成员，并且有许多重复项。（例如，1/1 和 2/2 是同一个数字）我们将这个集合称为 Q'。很容易看出，如果 Q' 是可数的，那么 Q 也是可数的。

那么我们如何计算 Q'？如果我们尝试计算第一行然后是第二行，以此类推，我们会失败，因为行是无限长的。同样，如果我们尝试计算列。但是看看对角线。在一个方向上，它们是无限的（例如 1/1，2/2，3/3，…），但在另一个方向上，它们是有限的。因此，这个集合是可数的。我们沿着有限的对角线计算它们，1/1，1/2，2/1，1/3，2/2，3/1……。

练习

调整计算集合 Q' 的方法以显示集合 Q 也是可数的。你将如何包含 0 和负有理数？你将如何解决表示同一个数字的重复项问题？
证明 $\infty \times \infty =\infty$ （只要两个无限大都是可数的）

我们能找到任何比 N 大的集合吗？

到目前为止，我们已经研究了 N、Z 和 Q，发现它们的大小都相同，即使 N 是 Z 的一个子集，而 Z 是 Q 的一个子集。你可能开始思考“就这样了吗？所有无限大都相同大小吗？”在本节中，我们将研究一个比 N 更大的集合。一个*不能*与 N 建立一一对应关系的集合，无论它如何排列。

所讨论的集合是 R：实数。实数是数轴上的任意数字。请记住，集合 Q 包含所有可以写成 p/q 的形式的数字，其中 p 和 q 是整数，q 不等于 0。大多数实数永远无法写成这种形式，它们被称为“无理数”。无理数的例子包括 $\pi$ ， $e,$ 和 ${\sqrt {2}}$ 。

集合 R 非常大！比 Q 大得多。为了感受这两个无限集的不同大小，请考虑实数和小数的十进制展开。有理数总是要么终止

1/8 = 0.125

要么重复

1/9 = 0.1111111......

想象一下测量一个物体，比如一本书。如果你使用尺子，你可能会得到 10 厘米。如果你稍微仔细一点，读出毫米，你可能会得到 10.2 厘米。然后你必须使用更精确的测量设备，例如游标卡尺，你会发现你得到 10.235 厘米。然后使用测量显微镜，你可能会发现是 10.235823 厘米，等等。一般来说，任何真实测量的十进制展开将是一系列看起来完全随机的数字。

现在想象一下你测量了一本书，发现它是 10.101010101010 厘米。你会很惊讶，不是吗？但这正是如果书的长度是有理数的话，你所需要得到的结果。有理数很密集（你可以在数轴上找到它们），是无限的，但远不像实数那样常见。

如何证明 R 比 Q 大

了解无限的大小，就像上一节中一样，是很有帮助的。但为了真正确定，我们必须提出某种形式的证明。为了证明 R 比 Q 大，我们使用一种经典的方法。我们假设 R 的大小与 Q 相同，并由此得出矛盾。为了清楚起见，我们将证明限制在 0 到 1 之间的实数。我们将这个集合称为 R'。显然，如果我们能证明 R' 比 Q 大，那么 R 也一定比 Q 大。

如果 R' 的大小与 Q 相同，则意味着它是可数的。这意味着我们可以写出一个包含 R' 中所有成员的列表（这就是可数的含义，到目前为止，我们已经设法以无限长列表的形式写出了所有无限集）。让我们考虑一下这个列表。

R₁

R₂

R₃

R₄

.

其中 R₁ 是列表中的第一个数字，R₂ 是第二个，依此类推。请注意，我们没有说列表的顺序是什么。对于这个证明，我们不需要说列表的顺序是什么，只需要说 R 的成员是可列出的（因此是可数的）。

现在让我们写出列表中每个数字的小数展开。

0.r₁₁r₁₂r₁₃r₁₄...

0.r₂₁r₂₂r₂₃r₂₄...

0.r₃₁r₃₂r₃₃r₄₄...

0.r₄₁r₄₂r₄₃r₄₄...

.

这里 r₁₁ 表示列表中第一个数字小数点后的第一个数字。因此，如果我们的第一个数字恰好是 0.36921...，则 r₁₁ 将是 3，r₁₂ 将是 6，依此类推。请记住，这个列表应该是完整的。这意味着它包含 R' 中所有成员。为了证明 R 不可数，我们要做的是构造一个不在列表中的 R' 中的数字。由于该列表应该包含 R' 中所有成员，因此这将导致矛盾，因此表明 R' 是不可列出的。

为了构造这个未列出的数字，我们选择一个十进制表示

0.a₁a₂a₃a₄...

其中 a₁ 是小数点后的第一个数字，依此类推。

我们让 a₁ 取 0 到 9（包括 0 和 9）之间的任何值，除了数字 r₁₁。因此，如果 r₁₁ = 3，那么 a₁ 可以是 0、1、2、4、5、6、7、8 或 9。然后我们让 a₂ 是除 r₂₂ 之外的任何数字（列表中第二个数字的第二个数字）。然后 a₃ 是除 r₃₃ 之外的任何数字，依此类推。

现在，如果我们刚刚构造的这个数字确实在列表中的某个地方，那么它就必须等于 R_something。让我们看看它可能等于哪个 R_something。它不可能等于 R₁，因为它第一个数字不同（r₁₁ 和 a₁。它也不可能等于 R₂，因为它第二个数字不同，依此类推。事实上，它不可能等于列表中的任何数字，因为它与列表中所有数字至少有一个数字不同。

我们已经做到了我们想做的事情。我们构造了一个 R' 中的数字，但不在 R' 中所有成员的列表中。这种矛盾意味着 R' 比任何列表都大。它不可列出。它不可数。它是一个比 Q 更大的无穷大。

还有更大的无穷大吗？

有，但很难描述。所有可能的任何数量的实数组合的集合是一个比 R 更大的无穷大。然而，试图想象这样的集合令人难以置信。让我们看看一个看起来应该比 R 大，但事实并非如此的集合。

记住 R'，我们之前将它定义为数轴上 0 到 1 之间的数字集合。现在让我们考虑平面中从 [0,0] 到 [1,1] 的所有数字集合。乍一看，很明显，整个平面上一定比一条线上有更多的点。但在超限数学中，“显而易见”并不总是正确的，证明是唯一的出路。康托尔花了三年时间试图证明它是正确的，但失败了。他失败的原因是最好的可能。这是错误的。

这个平面中的每个点都由两个数字指定，即 x 坐标和 y 坐标；x 和 y 都属于 R。让我们考虑线上的一个点。0.a₁a₂a₃a₄.... 你能想到一种方法使用这个数字来指定平面中的一个点吗？同样，你能想到一种方法将两个数字 x= 0.x₁x₂x₃x₄.... 和 y= 0.y₁y₂y₃y₄.... 组合起来以指定线上的一点吗？（在继续阅读之前考虑一下）

一种方法是

a₁ = x₁

a₂ = y₁

a₃ = x₂

a₄ = y₂

.

这定义了平面上的点和线上的点之间的一一对应关系。（实际上，对于你们中那些敏锐的人来说，并非完全是一一对应的。你能发现问题和解决方法吗？）

练习

证明立方体中点的数量与其中一个侧面上的点的数量相同。

连续统假设

我们将在关于无限集的这一部分结束时，介绍连续统假设。这个假设指出，自然数和实数之间不存在无穷大。康托尔为超限数想出了一个数字系统。他称最小的无穷大为 $\aleph _{0}$ ，下一个最大的为 $\aleph _{1}$ ，依此类推。很容易证明 N 的基数是 $\aleph _{0}$ （将任何较小的无穷大写成列表。要么列表终止，在这种情况下它是有限的，要么它永远持续下去，在这种情况下它与 N 的大小相同），但实数的基数是否等于 $\aleph _{1}$ ？

换句话说，这个假设指出

不存在比自然数集更大但比实数集更小的无限集。

这个假设很有趣，因为它已被证明“无法使用集合论的常规公理来证明该假设是真还是假”。

进一步阅读

如果你想了解更多关于集合论或无限集的信息，可以尝试我们姊妹项目 en:wikipedia 上的众多有趣页面。

极限无穷被消除了

在 21 世纪，我们看来无限集理论很奇怪，但在康托尔的时代，这对大多数数学家来说是完全不能接受的。在那个时代，无穷的概念太麻烦了，他们尽可能地避免它。

不幸的是，被称为**分析**的数学主题在数学、物理学、工程学中被发现非常有用。这是一个太有用的领域，不能轻易放弃，而分析依赖于无穷或至少依赖于无限过程。为了解决这个问题，发明了*极限*的概念。

考虑这个级数

{\frac {1}{1}},{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\cdots ,{\frac {1}{n}}\cdots

这个级数被称为调和级数。

请注意，随着你沿着级数越来越远，级数的项越来越小。如果我们让 n 变成无穷大，会发生什么？该项将变成 ${\frac {1}{\infty }}$

但这没有意义。（数学家认为用无穷大除法很粗心。无穷大不是一个实数，你不能用它来除法。）更好的思考方式（如果你曾经考虑过这个问题，你可能已经是这样想的）是采取这种方法：无穷大非常大，比你能想到的任何数字都要大。所以，让我们让 *n* 变得越来越大，看看 1/*n* 是否接近某个固定数。在这种情况下，随着 *n* 越来越大，1/*n* 越来越小。因此，有理由说*极限*是 0。

在数学中，我们写成

\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0

它读作

当 *n* 趋近于无穷大时，1/*n* 的极限为零

请注意，我们不是用无穷大除以 1 并得到答案 0。我们让数字 *n* 变得越来越大，因此倒数越来越接近零。18 世纪的数学家喜欢这个想法，因为它消除了令人讨厌的*用无穷大除法*的概念。在任何时候，*n* 都保持有限。当然，无论 *n* 多大，1/*n* 都不可能完全等于零，总会有一个微小的差异。这个差异（或误差）通常用 ε（epsilon）表示。

信息 - 无限小

当我们谈论无穷大时，我们把它看作一个很大的东西。但也有无限小，用 ε（epsilon）表示。这种事物比任何其他数字都更接近零。数学家也用字符 ε 来表示任何很小的东西。例如，著名的匈牙利数学家保罗·埃尔德什过去常常把小孩子称为 epsilon。

例子

让我们看看这个函数

{\frac {x^{2}+x}{x^{2}}}

当 x 趋近于无穷大时，极限是多少？

这就是极限的概念真正发挥作用的地方。直接用无穷大替换 *x* 并不能给我们带来太多

\ {\frac {\infty ^{2}+\infty }{\infty ^{2}}}=?

但通过使用极限，我们可以解决它

\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}+x}{x^{2}}}=1+\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}=1

对于我们的第二个例子，考虑这个极限，当 x 趋近于无穷大时， $x^{3}-x^{2}$

再次让我们看看错误的做法。将 $x=\infty$ 代入表达式，得到 $\infty ^{3}-\infty ^{2}$ 。请注意，你不能说这两个无穷大互相抵消，得到答案为零。

现在让我们看看用*正确*的方法，使用极限来做

\lim _{x\to \infty }x^{3}-x^{2}=\lim _{x\to \infty }x^{2}(x-1)=\infty

最后一个表达式是两个函数相乘。当 *x* 趋近于无穷大时，这两个函数都趋近于无穷大，因此它们的积也是无穷大。这意味着*极限*不存在，即当 *x* 越来越大时，函数没有趋近于任何有限数。

再做一次，让你真正熟悉它的工作原理。计算

\lim _{x\to \infty }{\frac {\sin x}{x}}

为了更加清晰，我们将它改写为

\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}(\sin x)

现在要计算这个极限，我们需要观察 sin(x) 的性质。Sin(x) 是一个你应该已经熟悉的函数（或者你很快就会熟悉），它的值根据 x 在 1 和 -1 之间振荡。这意味着 sin(x) 的绝对值（不考虑正负号的值）始终小于或等于 1

|\sin x|\leq 1

所以我们有 1/x，我们已经知道它在 x 趋于无穷大时趋于零，乘以 sin(x)，它始终保持有限，无论 x 多大。这给我们

\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}(\sin x)=0

练习

评估以下极限；

$\lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{2}-4}{2x^{2}+x}}$
$\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}-1}{2x^{3}+3}}$
$\lim _{x\to \infty }{\frac {cosx}{x^{2}}}$
$\lim _{x\to \infty }(2x^{2}-x^{4})$

无穷级数

考虑无穷和 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + .... 你认为当所有项都被加起来后，这个和会等于无穷大吗？让我们把前几项加起来。

${\begin{matrix}S_{1}&=&{\frac {1}{1}}&=&1\\S_{2}&=&{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}&=&1.5\\S_{3}&=&{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}&=&1.75\\S_{4}&=&{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}&=&1.8750\\\end{matrix}}$

你能猜到 $S_{\infty }$ 是多少吗？

这里还有另一种看待它的方式。想象一下，一条数轴上的点随着求和的进行而移动。在第一项中，这个点跳到位置 1。这是从 0 到 2 的中间位置。在第二阶段，这个点跳到位置 1.5 - 从 1 到 2 的中间位置。在过程的每个阶段（图中以不同的颜色显示），到 2 的距离都减半。这个点可以无限接近点 2。你只需要进行适当数量的跳跃，但这个点在有限数量的步骤内永远不会真正到达 2。我们说，当 n 趋于无穷大时，S_n 趋于 2。

芝诺悖论

古希腊人对求解无穷级数有很大的问题。哲学家芝诺的著名悖论如下

在阿基里斯和乌龟的悖论中，我们想象希腊英雄阿基里斯与行动缓慢的爬行动物进行赛跑。因为他是如此快的跑步者，所以阿基里斯慷慨地允许乌龟领先一百英尺。如果我们假设每个赛跑者都以某种恒定速度开始跑步（一个非常快，一个非常慢），那么在经过一段有限的时间后，阿基里斯将跑完一百英尺，到达乌龟的起点。

在这段时间里，乌龟“跑”了一段（短得多）的距离，比如一英尺。然后阿基里斯需要再花一段时间来跑完这段距离，在此期间，乌龟将进一步前进；然后又是另一段时间才能到达第三个点，而乌龟会继续向前移动。因此，无论阿基里斯到达过乌龟曾经到过的地方，他仍然有更远的路要走。因此，芝诺说，速度飞快的阿基里斯永远无法超越乌龟。

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