现代物理学/速度叠加

狭义相对论
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在经典物理学中，速度简单地相加。如果一个物体在一个参考系中以速度u运动，而该参考系本身相对于第二个参考系以v的速度运动，则该物体在第二个参考系中以速度u+v运动。

这与相对论不一致，因为相对论预测如果光速在第一个参考系中为c，那么它在第二个参考系中将为v+c。

我们需要找到一个用于组合速度的替代公式。我们可以使用洛伦兹变换来做到这一点。

因为因子v/c将不断出现，我们将这个比率称为β。

我们正在考虑三个参考系：参考系O，参考系O'（相对于参考系O以速度u运动），以及参考系O"（相对于参考系O'以速度v运动）。

我们想知道O"相对于参考系O的速度U，在经典情况下，它将是u+v。

从O到O'和从O'到O"的变换可以写成矩阵方程，

${\begin{pmatrix}x'\\ct'\end{pmatrix}}=\gamma {\begin{pmatrix}1&-\beta \\-\beta &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\ct\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}x''\\t''\end{pmatrix}}=\gamma '{\begin{pmatrix}1&-\beta '\\-\beta '&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x'\\ct'\end{pmatrix}}$

其中我们定义β和γ为

${\begin{matrix}\beta ={\frac {u}{c}}&\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\\beta ^{\prime }={\frac {v}{c}}&\gamma ^{\prime }={\frac {1}{\sqrt {1-{\beta ^{\prime }}^{2}}}}\end{matrix}}$

我们可以将它们组合起来，通过简单地将矩阵相乘来获得O和O"坐标之间的关系，得到

${\begin{pmatrix}x''\\ct''\end{pmatrix}}=\gamma \gamma ^{\prime }{\begin{pmatrix}1+\beta \beta '&-(\beta +\beta ')\\-(\beta +\beta ')&1+\beta \beta '\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\ct\end{pmatrix}}\quad (1)$

这应该与这两个参考系之间的洛伦兹变换相同，

${\begin{pmatrix}x''\\ct''\end{pmatrix}}=\gamma ''{\begin{pmatrix}1&-\beta ''\\-\beta ''&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\ct\end{pmatrix}}\quad (2){\mbox{ where }}{\begin{matrix}\beta ''&=&{\frac {U}{c}}\\\gamma ''&=&{\frac {1}{\sqrt {1-{\beta ''}^{2}}}}\end{matrix}}$

这两个方程组看起来很相似。我们可以通过从(1)中的矩阵中提取1+ββ'的因子，使它们看起来更相似#

${\begin{pmatrix}x''\\ct''\end{pmatrix}}=\gamma \gamma '(1+\beta \beta '){\begin{pmatrix}1&-{\frac {\beta +\beta '}{1+\beta \beta '}}\\-{\frac {\beta +\beta '}{1+\beta \beta '}}&1+\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\ct\end{pmatrix}}$

如果以下条件成立，该公式将与公式 2 相同。

$\beta ''={\frac {\beta +\beta '}{1+\beta \beta '}}{\mbox{ (3a) and }}\gamma ''=\gamma \gamma '(1+\beta \beta '){\mbox{ (3b)}}$

由于这两个公式 *必须* 给出相同的结果，因此我们知道这些条件必须为真。

将 β 写成速度公式 3a，得到

${\frac {U}{c}}={\frac {{\frac {u}{c}}+{\frac {v}{c}}}{1+{\frac {uv}{c^{2}}}}}$

这告诉我们 *U* 与 *u* 和 *v* 的关系。

少许代数运算表明这暗示着公式 3b 也是真的。

用 *c* 乘以公式，我们最终可以写出

$U={\frac {u+v}{1+{\frac {uv}{c^{2}}}}}$

注意，如果 *u* 或 *v* 远小于 *c*，则分母近似为 1，速度近似相加，但如果 *u* 或 *v* 为 *c*，则 *U* 也为 *c*，正如我们预期的那样。