现代物理/数学/四维向量

狭义相对论
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数学教程 - 四维向量

我们已经看到波是由四个数字描述的，即空间向量 k 的分量和频率 ω

在狭义相对论中，这四个数字构成一个四维向量

它被称为一个四维向量，因为它有 3 个类空间分量，形成一个向量，以及一个类时间分量，当有 3 个空间维度时。它被称为一个四维向量，是因为它在改变参考系时的行为方式。

波四维向量的类空间分量只是 $\mathbf {k}$ 当有 3 个空间维度时，而类时间分量是 $\omega /c$ 其中分母中的 c 是为了使类时间分量具有与类空间分量相同的维度。

让我们定义一些术语。我们用下划线表示四维向量，并按以下方式写出分量：${\underline {k}}=(k,\omega /c)$，其中 ${\underline {k}}$ 是波四维向量，$k$ 是其类空间分量，$\omega /c$ 是其类时间分量。对于三个空间维度，当我们有一个波向量而不是仅仅一个波数时，我们写 ${\underline {k}}=(k,\omega /c)$。

四维向量的另一个例子是时空中的位置向量，${\underline {x}}=(x,ct)$，或在三个空间维度中为 ${\underline {x}}=(\mathbf {x} ,ct)$。$c$ 乘以类时间分量，因为这是赋予其与类空间分量相同维度所需要的。

在三维空间中，我们将向量定义为具有大小和方向的量。将此扩展到时空，四维向量是在时空中具有大小和方向的量。这个定义隐含着向量的大小是一个独立于坐标系或参考系的量。我们已经看到时空中的不变间隔是

$I={\sqrt {x^{2}-c^{2}t^{2}}}$,

因此，将此识别为位置向量的大小是有意义的。这导致了一种定义四维向量点积的方式。

给定两个四维向量

${\underline {A}}=(\mathbf {A} ,A_{t})\quad {\underline {B}}=(\mathbf {B} ,B_{t})$

那么点积是

${\underline {A}}\cdot {\underline {B}}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} -A_{t}B_{t}\quad {\mbox{(dot product in spacetime)}}$

这与不变间隔的定义一致，如果我们设置

${\underline {A}}={\underline {B}}={\underline {x}}$,

因为那样的话

${\underline {x}}\cdot {\underline {x}}=x^{2}-c^{2}t^{2}=I^{2}$.

现在，关于三维向量点积的关键点是它们是标量，与观察者无关。如果轴旋转，它们不会改变，如前所述。

为了使我们对四维向量点积的定义有用，它也应该与观察者无关。特别是，它不应该依赖于观察者的速度，否则它将违反相对论原理。

我们可以很容易地检查我们的定义是否满足这个标准。

很明显，它与旋转无关，因为它是一个点积和两个标量积的差，这两个项都不会受到坐标旋转的影响。

它也与参考系速度无关吗？

为了检查，首先我们需要能够在新的参考系中写下我们的四维向量。我们知道如何对位置向量这样做 - 使用洛伦兹变换。可以证明，同样的变换必须对所有向量成立，因此四维向量在新参考系中的分量，相对于以前的参考系以速度 v 沿x轴运动，为

${\begin{matrix}A'_{x}&=&\gamma \left(A_{x}-{\frac {v}{c}}A_{t}\right)\\A'_{y}&=&A_{y}\\A'_{z}&=&A_{z}\\A'_{t}&=&\gamma \left(-{\frac {v}{c}}A_{x}+A_{t}\right)\end{matrix}}$

在这个参考系中的点积是

${\underline {A'}}\cdot {\underline {B'}}=A'_{x}B'_{x}+A'_{y}B'_{y}+A'_{z}B'_{z}-A'_{t}B'_{t}$

简化后，我们得到

${\begin{matrix}{\underline {A'}}\cdot {\underline {B'}}&=&\gamma ^{2}\left(A_{x}B_{x}-{\frac {v}{c}}(A_{x}B_{t}+A_{t}B_{x})+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}A_{t}B_{t}\right)\\&&+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}&\\&&-\gamma ^{2}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}A_{x}B_{x}-{\frac {v}{c}}(A_{x}B_{t}+A_{t}B_{x})+A_{t}B_{t}\right)\\&=&\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-1}\left(A_{x}B_{x}+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}A_{t}B_{t}\right)\\&&+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}\\&&-\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-1}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}A_{x}B_{x}-A_{t}B_{t}\right)\\&=&A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}-A_{t}B_{t}\end{matrix}}$

这仅仅是原始坐标系下的点积，正如我们所期望的那样。

现在我们知道两个四维向量的点积是一个标量结果，也就是说，它的值与坐标系无关。这在某些情况下可以利用。

在时空的奇特几何中，垂直的含义并不明显。因此，我们定义两个四维向量 ${\underline {A}}$ 和 ${\underline {B}}$ 垂直，如果它们的点积为零，与三维向量相同。

${\underline {A}}\cdot {\underline {B}}=0$

因为点积是一个标量，如果向量在一个坐标系中垂直，那么它们在所有坐标系中都将垂直。

我们也可以考虑四维向量 ${\underline {A}}$ 的点积，它在非标注坐标系中分解为 $(A_{x},A_{t})$ 。让我们进一步假设空间分量在某些标注坐标系中为零，因此该坐标系中的分量为 (0, A_t' ) 。点积与坐标系无关这一事实意味着

${\underline {A}}\cdot {\underline {A}}=A_{x}^{2}-A_{t}^{2}=-A_{t}'^{2}$

这构成了将时空毕达哥拉斯定理扩展到除位置四维向量之外的其他四维向量。因此，例如，某波的波数在参考系中可能为零，这意味着在非参考系中的波数和频率与参考系中的频率之间存在关系，即$k^{2}-\omega ^{2}/c^{2}=-\omega '^{2}/c^{2}$.

固有时间

在经典力学中，时间导数d/dt表现得像一个标量，因此我们可以用它乘以一个向量，并得到另一个向量。

在相对论中，t是四维向量的一部分，这意味着d/dt也是四维向量，因此我们不能简单地用t对向量进行微分，并期望得到向量。

例如，静止粒子的位置为（0，ct）。

从以v的速度向右运动的参考系观察，它的位置变为（-vτ，cτ），其中τ=γt是运动参考系中测量的时刻。

如果我们对τ进行微分，那么速度将是（-v，c）。

如果我们对t进行微分，则在静止参考系中得到（0，c），如果这是一个四维向量，则在运动参考系中将（利用洛伦兹变换）得到（-γv，-γc）。

这两个表达式在同一参考系中测量时相差一个γ因子，因此它不可能是四维向量。

然而，如果运动的观察者除以γ（即时间膨胀），他们将得到与静止观察者相同的向量。

这样做等效于用粒子自身的静止系中的时间进行微分。由于这适用于位置向量，我们期望它适用于所有向量。

在粒子静止系中测量的时刻称为其固有时间。

用固有时间对向量进行微分会得到另一个向量，它是时间导数的相对论等效物。