现代物理学/时空中的波

狭义相对论
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狭义相对论的应用

在本章中，我们将继续研究狭义相对论，并将前一章中发展起来的思想应用于波的研究。

首先，我们将展示如何在时空的背景下描述波。然后我们看到，那些没有优先参考系（例如支持它们的介质的参考系）的波，由于狭义相对论的约束，必须具有特定形式的色散关系。这种色散关系恰好是量子力学中相对论物质波的色散关系。

其次，我们将研究多普勒效应，其中波的频率在不同的坐标系中具有不同的值。

第三，我们将展示如何在相对论一致的情况下添加速度。这在讨论狭义相对论中的粒子行为时也会很有用。

在相对论波的背景下，将介绍一个新的数学概念，即时空向量或四向量。用相对论标量和四向量完全写出物理定律，可以确保它们在所有惯性参考系中都适用。

时空中的波

时空中的波

现在我们看看时空中的波的特征。回想一下，一维空间中的波可以用以下公式表示

$A(x,t)=A_{0}\sin(kx-\omega t)\,$

其中 $A_{0}$ 是波的（常数）振幅，$k$ 是波数，$\omega$ 是角频率，以及 $\phi =kx-\omega t$ 被称为波的相位。对于三维空间中的波，波的表示方式类似，

$A(\mathbf {x} ,t)=A_{0}\sin(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)$

其中 $\mathbf {x}$ 现在是位置向量，$\mathbf {k}$ 是波向量。波向量的模，$|\mathbf {k} |=k$ 仅仅是波的波数，而该向量的方向指示着波的传播方向。在这种情况下，波的相位是 $\phi =\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t$.

图 5.1：时空波前示意图。大箭头是相应的波四向量，其斜率为 $\omega /ck$。波前的斜率是其倒数，$ck/\omega$。

在一维情况下，$\phi =kx-\omega t$。波前具有恒定的相位$\phi$，因此求解该方程以获得$t$，并乘以真空中的光速$c$，会得到波前世界线的方程。

$ct={\frac {ckx}{\omega }}-{\frac {c\phi }{\omega }}={\frac {ck}{u_{p}}}-{\frac {c\phi }{\omega }}\quad {\mbox{(波前).}}$

时空图中世界线的斜率是$x$的系数，即$c/u_{p}$，其中$u_{p}=\omega /k$是相速度。