狭义相对论
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在本章中,我们将继续研究狭义相对论,并将前一章中发展起来的思想应用于波的研究。
首先,我们将展示如何在时空的背景下描述波。然后我们看到,那些没有优先参考系(例如支持它们的介质的参考系)的波,由于狭义相对论的约束,必须具有特定形式的色散关系。这种色散关系恰好是量子力学中相对论物质波的色散关系。
其次,我们将研究多普勒效应,其中波的频率在不同的坐标系中具有不同的值。
第三,我们将展示如何在相对论一致的情况下添加速度。这在讨论狭义相对论中的粒子行为时也会很有用。
在相对论波的背景下,将介绍一个新的数学概念,即时空向量或四向量。用相对论标量和四向量完全写出物理定律,可以确保它们在所有惯性参考系中都适用。
时空中的波
现在我们看看时空中的波的特征。回想一下,一维空间中的波可以用以下公式表示
其中
是波的(常数)振幅,
是波数,
是角频率,以及
被称为波的相位。对于三维空间中的波,波的表示方式类似,
其中
现在是位置向量,
是波向量。波向量的模,
仅仅是波的波数,而该向量的方向指示着波的传播方向。在这种情况下,波的相位是
.
图 5.1:时空波前示意图。大箭头是相应的波四向量,其斜率为
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。波前的斜率是其倒数,
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。
在一维情况下,
。波前具有恒定的相位
,因此求解该方程以获得
,并乘以真空中的光速
,会得到波前世界线的方程。
时空图中世界线的斜率是
的系数,即
,其中
是相速度。