现代物理学/多普勒效应

狭义相对论
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多普勒效应

你可能听说过火车鸣笛的声音在火车经过你时会发生变化。当火车驶近时，音调或频率比火车驶离你时更高。这就是多普勒效应。类似的，但不同的效应会发生在你经过声源时。如果一个静止的哨子在吹，从一辆移动的汽车听到的音调在朝声源移动时比远离声源时更高。因此，第一个情况是移动的声源，而第二个情况是移动的观察者。

在本节中，我们将计算多普勒效应在光在真空中传播时的情况。下图显示了计算光波前时间间隔的几何图形，分别对应静止和移动参考系。

• 在静止参考系中，静止观察者之间的波前时间间隔为T。

• 在静止参考系中，移动观察者之间的波前时间间隔为T′。

• 在静止参考系中，移动观察者之间的波前时间间隔为τ。

由于波前的世界线斜率为1，阴影三角形的两边具有相同的数值C。如果观察者以速度U移动，则观察者世界线的斜率为c/U，即

${\frac {c}{U}}={\frac {cT+X}{X}}$

求解X并代入cT′=cT+X得到

$T'={\frac {T}{1-{\frac {U}{c}}}}\quad (1)$

在经典物理学中，T′和τ相同，因此该公式直接导致了移动观察者的经典多普勒频移。

然而，在相对论中，T′和τ不同。我们可以使用洛伦兹变换来修正这一点。

第二个波前在静止观察者参考系中经过移动观察者时坐标为(UT′,cT′)，但在其自身参考系中坐标为(0,cτ)。洛伦兹变换告诉我们。

$c\tau =\gamma \left(cT'-{\frac {U}{c}}UT'\right)=cT'\gamma \left(1-{\frac {U^{2}}{c^{2}}}\right)=cT'/\gamma$

将公式(1)代入得到

${\begin{matrix}\tau &=&T{\frac {\sqrt {1-U^{2}/c^{2}}}{1-U/c}}\\&=&T{\sqrt {\frac {(1-U/c)(1+U/c)}{(1-U/c)^{2}}}}\\&=&T{\sqrt {\frac {c+U}{c-U}}}\end{matrix}}$

由此，我们推断出光在真空中传播的相对论多普勒频移公式

$\omega ^{\prime }=\omega {\sqrt {\frac {c-U}{c+U}}}$

因为频率与时间成反比。

我们可以继续确定由移动声源产生的多普勒频移。但是，根据相对论原理，物理定律在观察者静止而声源移动的参考系中应该是相同的。此外，光速在该参考系中仍然是c。因此，静止观察者和移动声源的问题在概念上与移动观察者和静止声源的问题相同，前提是波速为c。

这与例如声波不同，声波中静止观察者和静止声源会产生不同的多普勒频移公式。

外部链接

• 相对论多普勒效应及其测量