实分析/函数

实分析 反函数

反函数→

函数是数学中的一个基本组成部分，它出现在以后的每一个分支中。尽管在初等数学中，对函数的理解可能微不足道，但在实践中，函数允许你证明甚至是最基本的数学方面。即使本书的介绍章节，它利用本书的概念作为垫脚石来提供高等数学的基础介绍，也使用了它。因此，使函数严格化将至关重要——并将在这章中处理。

构造

我们假设你对函数有直观的理解。如果没有，可以在更早的数学维基教科书中找到它们；代数书和微积分书，或在更高级的数学维基教科书中找到；离散数学。这应该表明这些概念是多么基本。可以说，虽然可能不需要对函数有严格的理解，但了解它的结构组成部分以及定理如何依赖于它，将对你今后的数学生涯至关重要。

函数的定义如下

函数 ƒ 的定义

---

一组有序对 (a,b).

有序对 (a,b) 的定义

---

一个集合，使得该集合等于 {{a},{a,b}}.

是的，就是这样。函数的定义依赖于很少的东西；函数的概念仅取决于集合论。虽然这个定义可能听起来太简单了，但令人惊讶的是它并非如此。对函数的直观概念得到了完全满足。可以通过定义论证或推导来描述函数的某些性质。即直观的性质为

1. 一个输入值必须根据函数定义输出某个值。
2. 一个输入不能输出多个值。
3. 相同的输入应该产生相同的输出。
4. 函数的定义域和值域应该是可推导的（在数学中，存在性证明就足够了）。
5. 控制数字的运算也必须对函数以可预测的方式适用。

这些将在以下部分中深入描述。

定义

许多性质可以通过简单的定义来澄清。毕竟，函数已经被定义为一种非常特殊的集合，这意味着许多性质可以通过它的定义简单地推导出。实际上，我们将使用我们的文本框符号来轻松地定义它们。

ƒ(a) 的定义 给定a，有序对 (a,b) 中的变量b。 在书写中，这被称为f 在a 处的取值或任何类似的词语组合。	输入值 的定义 给定语句 $f(a)=b$，变量a	输出值 的定义 给定语句 $f(a)=b$，变量b
	函数 ƒ 的定义域 的定义 一个由每个有序对 (a,b) 中的变量a 组成的集合。	函数 ƒ 的值域 的定义 一个由每个有序对 (a,b) 中的变量b 组成的集合。

为了保持本维基教科书的范围，我们不会严格证明这些定义的必要性。为什么？它们几乎本质上依赖于集合论及其相关的定理、公式和运算。虽然本维基教科书使用集合符号，但它主要关注严格定义初等数学并向读者介绍高等数学。实际上，我们将假设对这些定义的证明只是公理语句。但是，你可以自由地为了个人原因而证明它们。

符号

有很多不同的方法来表示函数。不同的符号风格的众多性是由于数学领域的众多，每个领域都要求我们从函数中获取特定类型的信息。鉴于本维基教科书是关于实分析的，我们不一定需要定义域和值域中接受的数字明确的函数定义。相反，我们将主要依赖于这些类型的符号，最后一个符号很少使用。

函数符号列表

符号	读作
$f={\text{ insert definition here}}$	N/A
$f(x)={\text{ insert definition here}}$	N/A
$x\rightarrow f$	x 箭头 [插入 ƒ 的定义]

在本维基教科书中，我们将主要使用前两种符号，其中第一种符号使用得最多。为什么？它融合了函数和变量的定义，这将是今后在高等数学中一个有用的概念。它还节省了空间，因为其他运算（你将在后面学习）通常有专门的符号用于 f(x)。f(x) 也可能很容易被误认为是 f(a)，它指的是实际值，而 f(x) 指的是定义。

性质

定理

---

给定两个有序对 (a,b) 和 (c,d)，如果它们都相等，那么必须遵循 a = c 和 b = d 为真。

输入唯一性的证明

鉴于a 是 {{a},{a,b}} 的共同成员，c 是 {{a},{a,b}} 的共同成员，并且它们应该相等（这意味着构成集合的元素必须相同，a = c.
情况 1：b = a.	情况 2：b ≠ a.
{{a},{a,b}} = {{a},{a,a}} = {{a},{a}} = {a}	b 必须作为集合 {{a},{a,b}} 的成员存在。对于 {{a},{a,d}} 也是如此，因为它们是相等的。
由于它们必须相等，所以 d = a 也是成立的。	由于 b ≠ a.，它不在集合 {a} 中，它必须在集合 {a,d} 中，这意味着 b = d.
$\blacksquare$

这验证了函数相等性的本质；对于两个函数相等，输入和输出都必须相等。

运算

函数服从与普通数字相同的许多运算。然而，一个关键的区别是函数的定义域，它可能会根据运算符而改变。

函数运算列表

名称	符号	定义域
加法	$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$	domain f ∩ domain g
减法	$(f-g)(x)=f(x)-g(x)$	domain f ∩ domain g
乘法	$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$	domain f ∪ domain g
除法	$\left({\dfrac {f}{g}}\right)(x)={\dfrac {f(x)}{g(x)}}$	domain f ∪ domain g \ {a : g(a) = 0}
复合	$f\circ g(x)=f(g(x))$	domain g ∪ {g(x) : f(g(x)) ∈ domain f}

鉴于本维基教科书的范围，我们不会严格证明这些定义的必要性。为什么？它们几乎完全依赖于集合论及其相关的定理、公式和运算。虽然本维基教科书使用集合符号，但它主要关注严格定义初等数学，并向读者介绍高等数学。实际上，我们将假设这些定义的证明仅仅是一个公理陈述。但是，你可以自由地出于个人原因证明它们。

定理

在函数方面，有一对小的定理证明了初等数学中最基本的一个方面——即代数的概念。虽然下面的定理听起来与代数无关，但它实际上验证了该过程的性质。初等数学和高等数学之间的一个重大转变是认识到代数操作也是一种证明。因此，您可能在本维基教科书中读到的第一个证明（如果您按线性顺序阅读）就是这个定理。定理与代数相关联的示例将在后面给出。

定理

---

如果 $a=b$，那么你可以在两边应用任何函数，即 $f(a)=f(b)$。

证明

此证明依赖于函数定义和关于相等的公理。作为提醒，f(x) 指的是函数的定义，而不是 f 在 x 处的取值。

代数有效性的证明

根据函数定义，我们可以断言变量 a 可以映射到 f 在 a 处的取值，在本证明中我们将它称为 x。	${\begin{aligned}f&=\{\ldots ,\{\{a\},\{a,x\}\},\ldots \}\implies \\a&\rightarrow x\end{aligned}}$
因为 b = a 并且我们正在使用函数 f，所以我们可以断言 b 也可以映射到 f 在 a 处的取值。	${\begin{aligned}f&=\{\ldots ,\{\{b=a\},\{b=a,x\}\},\ldots \}\implies \\b&\rightarrow x\end{aligned}}$
结合起来，这种关系就变得清晰了。	$a=b\implies a\rightarrow x=b\rightarrow x\implies x=x$ $\blacksquare$

示例

对代数是什么的适当分析可以帮助巩固定理及其重要性。例如，我们将使用一个简单的方程式 $17=3x+2$ 来说明我们的观点。以下是对该方程式的解释。

解释	代数	用我们的定理表达
首先，我们将两边都减去 2。这相当于创建一个函数 $f=x-2$，然后应用我们的定理。接下来，我们将两边都除以 3。请注意，这相当于创建另一个函数 $g=x/3$，然后应用我们的定理。请注意，到那时，我们已经基本上解决了我们的问题。我们只需应用等价性质公理并为了美观而“反转” *x* 和 5 的位置。	${\begin{aligned}17&=3x+2\\17-2&=3x+2-2\\15&=3x\\{\frac {15}{3}}&={\frac {3x}{3}}\\5&=x\\x&=5\end{aligned}}$	${\begin{aligned}17=3x+2&\implies f(17)=f(3x+2)\\&\implies 15=3x\implies \\g(15)=g(3x)&\implies 5=x\\&\implies x=5\end{aligned}}$

这种相似性并非偶然。事实证明，代数的概念实际上就是这种性质反复应用的结果。即使是代数的局限性也可以用这种性质来解释。最著名的例子是平方（其中对一个方程进行平方似乎会引入一个新的值，该值可能不正确。例如，二次方程），这可以通过简单地说，“代数不能保证可逆性”来轻松解释。请注意，我们的证明实际上验证了平方过程，因为它不是双向关系。事实上，关于这个定理最奇怪的事情是它没有证明可逆性。什么是可逆性？

*可逆性* 的定义

---

方程式的双向关系代数性质；方程（只有等号的数学表达式）必须相互推导。