实分析/实数

为什么我们需要实数

这是一个很好的时机来解释实分析的主题，实质上简化为证明研究 $\mathbb {R}$ 的必要性。那么，还有什么缺失？为什么我们需要超越有理数的任何东西？

第一个问题是平方根。众所周知， ${\sqrt {2}}$ 不是有理数 - 换句话说，没有平方等于 $2$ 的有理数（参见练习）。这个事实有一个奇怪的结果 - 考虑以下函数

$f:\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} \ ;\ x\mapsto {\begin{cases}0&:x^{2}<2\\1&:x^{2}>2\\\end{cases}}$

显然，这个函数在有理数 $1.4$ 附近有一个剧烈的跳跃，在那里它突然从等于零变为等于一。但是，很难（甚至不可能）精确地确定这个跳跃发生在哪个地方。任何特定的有理数都安全地位于一侧或另一侧，并且，事实上，在 $\mathbb {Q}$ 上的标准拓扑中，这个函数是连续的（如果你不理解没关系）。

实数的定义正是为了修复这个缺陷。我们将定义实数 $\mathbb {R}$ ，这样无论我们试图多么巧妙，如果一个函数像 $f$ 一样有“跳跃”，那么我们总是能够找到一个它跳跃的特定数字。

以下各节将描述使这成为可能的 $\mathbb {R}$ 的性质。

不同的视角

为了证明关于实数的任何东西，我们需要知道它们的性质是什么。描述这些性质有两种不同的方法 - 公理化方法和构造性方法。

公理化方法

当我们采用公理化方法时，我们只是对 $\mathbb {R}$ 做出一系列断言，并假设它们成立。

我们做出的断言称为公理 - 在数学语境中，这个词的意思大致是“基本假设”。

这种方法的优点是，在继续推导出仅依赖于这些假设的结果之前，我们就能清楚地知道到底假设了什么。

这种方法的缺点是，可能不清楚是否存在任何满足我们想要的性质的对象！

构造性方法

采用构造性方法时，我们不会仅仅满足于假设我们想要的东西，而是试图构造 $\mathbb {R}$ 从更简单的东西开始，然后证明它具有我们想要的性质。这样，本来可能是公理的东西就变成了定理。有几种不同的方法可以做到这一点，从 $\mathbb {Q}$ 开始，并使用某种方法来“填补有理数之间的间隙”。

所有这些方法都相当复杂，将在下一节推迟到后面讨论。

公理

那么，我们需要哪些公理呢？简而言之， $\mathbb {R}$ 是一个完备的有序域。这实际上包含了很多意思。

即 $\mathbb {R}$ 是一个全序域。
即 $\mathbb {R}$ 在此排序中是完备的（注意，这里的完备性与偏序集研究中的常见意义不完全相同）。
即域公理所描述的代数运算（加法和乘法）以预期的方式与排序交互。

更详细地说，我们断言以下内容。

$\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ 是一个域。为此，我们需要定义在 $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ 上的二元运算加法（记为 $+$ $+$ ）和乘法（记为 $\times$ $\times$ ），以及满足以下条件的互异元素 $0$ $0$ 和 $1$ $1$ ：
1. $(\mathbb {R} ,+,0)$ $(\mathbb {R} ,+,0)$ 是一个交换群，这意味着
  1. $\forall x,y,z\in \mathbb {R} :(x+y)+z=x+(y+z)$ （结合律）
  2. $\forall x,y\in \mathbb {R} :x+y=y+x$ （交换律）
  3. $\forall x\in \mathbb {R} :x+0=x$ （单位元）
  4. $\forall x\in \mathbb {R} :\exists y\in \mathbb {R} :x+y=0$ （逆元）
2. $(\mathbb {R} \setminus \{0\},\times ,1)$ $(\mathbb {R} \setminus \{0\},\times ,1)$ 是一个交换群，这意味着
  1. $\forall x,y,z\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:(x\times y)\times z=x\times (y\times z)$ （结合律）
  2. $\forall x,y\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:x\times y=y\times x$ （交换律）
  3. $\forall x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:x\times 1=x$ （单位元）
  4. $\forall x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:\exists y\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:x\times y=1$ （逆元）
3. $\forall x,y,z\in \mathbb {R} :x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)$ （分配律）
$\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ 是一个全序集。为此我们需要一个关系（用 $\leq$ $\leq$ 表示）满足
1. $\forall x\in \mathbb {R} :x\leq x$ （自反性）
2. $\forall x,y,z\in \mathbb {R} :(x\leq y{\text{ and }}y\leq z)\implies x\leq z$ （传递性）
3. $\forall x,y\in \mathbb {R} :(x\leq y{\text{ and }}y\leq x)\implies x=y$ （反对称性）
4. $\forall x,y\in \mathbb {R} :{\text{either }}x\leq y{\text{ or }}y\leq x$ （完全性）
$\mathbb {R}$ 在此顺序下是完备的（有关详细信息，请参见下文）。
域运算和顺序以预期的方式交互，这意味着
1. $\forall x,y,z\in \mathbb {R} :x\leq y\implies (x+z)\leq (y+z)$
2. $\forall x,y,z\in \mathbb {R} :(x\leq y{\text{ and }}0\leq z)\implies (x\times z)\leq (y\times z)$

这是一个相当长的列表，如果你不习惯公理数学（即使你习惯了！），它可能看起来有点令人生畏，特别是我们还没有详细说明完备性的含义。这是数学任何领域中最长的公理列表之一，但如果你依次检查每个公理，你会发现它们都陈述了你可能视为理所当然的事情，即“数字的行为方式”，而无需多加思考。

这些公理是如此精确，以至于在某种程度上，它们精确地指定了实数。换句话说， $\mathbb {R}$ 是唯一的完备有序域。

进一步的符号

在 $\mathbb {R}$ 上定义了这些运算和关系后，我们需要引入更多符号来帮助我们讨论它们。希望所有这些约定对你来说都很熟悉，但正式介绍所有这些约定很重要，以避免因符号理解错误而导致的混淆。

与其为乘法写 $\times$ ，我们可以简单地用并置表示它。换句话说，我们写 $xy$ 来表示 $x\times y$ 。
由于乘法和加法都是结合律的，当多个数字相加或相乘时，我们省略不必要的括号。换句话说，与其写 $(x+y)+z$ 或 $x+(y+z)$ ，它们是相等的，我们简单地写 $x+y+z$ 来表示它们的公共值。
为了进一步节省写括号，按照惯例，乘法优先级高于加法。因此，例如，表达式 $x+yz$ 应该被解释为 $x+(yz)$ ，而不是 $(x+y)z$ 。
数字 $x+y$ 称为 $x$ 和 $y$ 的和。
数字 $xy$ 称为 $x$ 和 $y$ 的积。
$x$ 的加法逆元写成 $-x$ ，称为 $x$ 的负数或 相反数。所以， $x+(-x)=0$ .
$x$ 的乘法逆元写成 $x^{-1}$ ，称为 $x$ 的倒数，或简称为 $x$ 的逆元。所以， $x(x^{-1})=1$ .
我们定义二元运算减法如下：对于 $x,y\in \mathbb {R}$ ，我们设置 $x-y=x+(-y)$ 。数字 $x-y$ 称为 $x$ 和 $y$ 的差。
减法与加法具有相同的优先级（低于乘法），当两种运算混合在一起而没有括号时，隐含着左结合性。例如， $a+b-c-d+e$ 应该被解释为 $(((a+b)-c)-d)+e$ .
我们定义二元运算除法如下：对于 $x,y\in \mathbb {R}$ ，其中 $y\not =0$ ，我们设置 $x/y=x(y^{-1})$ 。数字 $x/y$ 称为 $x$ 和 $y$ 的商，也记作 ${\frac {x}{y}}$ .
除法优先级高于加法或减法，但对于混合乘除运算的处理方式没有简单的约定。使用 ${\frac {x}{y}}$ 符号，而不是 $x/y$ 符号有助于避免混淆。
我们定义二元运算指数如下：对于 $x\in \mathbb {R}$ 以及 $n\in \mathbb {N} _{0}$ ，我们递归地定义 $x^{n}$ 为 $x^{0}=1$ 和 $x^{n+1}=(x^{n})x$ 。然后，对于 $n\in \mathbb {Z}$ ，其中 $n<0$ ，我们定义 $x^{n}=(x^{-1})^{-n}$ 。
指数优先级高于除法、乘法、加法和减法。例如， $ab^{2}+d^{3}$ 应该被解释为 $(a(b^{2}))+(d^{3})$ 。
我们用 $x\geq y$ 表示 $y\leq x$ 。
我们用 $x<y$ 表示 $x\leq y$ 以及 $x\not =y$ 。
我们写 $x>y$ 表示 $y<x$ .
为了简化一系列等式或不等式的表达，可以将它们串联在一起。例如，表达式 $a\leq b=c=d<e$ 应解释为 $a\leq b$ 以及 $b=c$ 以及 $c=d$ 以及 $d<e$ .
要说明 $x$ 是正数，意味着 $x>0$ .
要说明 $x$ 是负数，意味着 $x<0$ .
要说明 $x$ 是非正数，意味着 $x\leq 0$ .
要说明 $x$ 是非负数，意味着 $x\geq 0$ .
我们还引入了表示 $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ 的几种常见子集的符号。所有这些子集都被称为区间
- $[a,b]=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x\leq b\}$ （称为从 $a$ 到 $b$ 的闭区间）
- $(a,b)=\{x\in \mathbb {R} :a<x<b\}$ （称为从 $a$ 到 $b$ 的开区间）
- $[a,b)=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x<b\}$
- $(a,b]=\{x\in \mathbb {R} :a<x\leq b\}$
- 在所有这些情况下， $a$ 被称为区间的下限，而 $b$ 被称为上限。
- 一个被排除的下限（如第二和第四种情况）可以用 $-\infty$ 来代替，以表示没有下限限制。例如 $(-\infty ,b]=\{x\in \mathbb {R} :x\leq b\}$ 。
- 类似地，一个被排除的上限（如第二和第三种情况）可以用 $\infty$ 来代替。例如， $(-\infty ,\infty )=\mathbb {R}$ 。
- 一些经常出现的特定区间是闭单位区间，或简称单位区间，即 $[0,1]$ ，以及 ${\mathbb {R} }^{+}=(0,\infty )$ ，即正实数。