材料强度/梁的荷载

材料强度

工程力学中的材料强度

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本书中讨论的固体力学最有效的领域之一就是梁的荷载问题。作用在梁上的荷载可以是点荷载、分布荷载或变荷载。梁上还可以有点力矩。梁本身在一个或多个点上支撑。支撑处的条件取决于所用支撑的类型。如果支撑是滚轮，则它只能承受垂直于滚轮运动方向的反应力。如果支撑是铰链，则它不能承受力矩。如果支撑是固定支座，则它可以承受任何方向的反应力，并能承受力矩。

在上图中，一个简易梁在中心处受到荷载P的作用。它在一端有一个铰链接触，在另一端有一个滚轮接触。

上图显示了作用在梁中心处的理想力矩。理想力矩是不与力相关的力矩。

分析梁问题的一般方法是找出荷载、反作用力、力矩，并得出每个截面的荷载和力矩值。一般来说，这将是沿梁距离的分段函数。

对于荷载，我们建立坐标轴，这决定了力的符号。对于力矩，我们约定顺时针力矩为正。

示例

1. 考虑前面讨论的梁的情况，如上图所示。

该梁在每个支撑处都有反作用力R₁ 和 R₂ 作用。

R₁ + R₂ = P

应用对称性，我们有,

R₁ = R₂

因此,

R₁ = R₂ = P/2

上图显示了该问题的剪力图。请注意，正负方向是约定俗成的，但重要的是选择一个方向作为正剪力方向并始终保持一致。如您所见，剪力值在荷载作用点发生变化。

上图显示了梁的弯矩图。弯矩从支撑处到中间线性变化。(中间的值应该是 PL/4)。请注意，弯矩在中间最大，在两端为零，因此弯矩的影响在中心最大。在后面的章节中，我们将看到由于弯矩引起的应力和应变是梁中最重要的因素。

练习

1. 在上面的梁中，求出支撑处的反作用力，以及位置x处的剪力。另外，求出该点的弯矩。

2. 上面的梁显示了由两个独立的点荷载引起的荷载。求出距梁一端x位置处的剪力和弯矩。

3. 求出在两个不同点作用点荷载和力矩的梁上每个点的弯矩。点力矩在实践中是如何发生的？

求解梁问题的微积分

微积分方法可以用来处理连续荷载函数。但是，这些方法可以通过使用狄拉克 delta 函数来扩展到点荷载和力矩。

上图显示了一个梁，其单位长度的均匀荷载为w。这种荷载用来模拟梁的自重，自重均匀地作用在整个梁上。这也可用于模拟桥梁由于其上的所有车辆引起的荷载。如果车辆数量很多，则可以通过轮胎作用的单个点荷载来模拟连续荷载。

考虑一个单位长度荷载为q(x)的梁，x表示梁上任意点的位置。考虑梁的一段微元长度dx。对该段微元应用力的平衡，我们有,

V + dV = q dx + V

其中V 是点x处的剪力。因此，我们有关系

dV/dx = q

对同一段微元应用力矩平衡，我们有,

M + dM − V dx − M − q dx dx/2 = 0

忽略dx中的二阶项，我们有,

dM/dx = V

或,

d²M/dx² = q

上述微分方程可以与适当的边界条件一起积分，以获得每个点的剪力和弯矩。

示例

考虑一个长度为L的梁，其两端由两个铰链支撑，单位长度的均匀荷载为w。

因此，梁上的总荷载为wL。因此，每个支撑处的反作用力为wL/2。

我们有，剪力的通用关系

$V=\int _{0}^{x}qdx+C_{1}$

原点处的剪力只是该点的反作用力 (=wL/2)。如果我们取垂直方向为正方向，则原点处的剪力为wL/2。此外，q = −w。因此，对于任意点x，我们有V = −wx + wL/2。

中心处的弯矩应为 wL^2/4

类似地，我们有弯矩M

$M=\int _{0}^{x}Vdx+C_{2}$

很容易看出，原点处的弯矩为零。因此，我们有M = w x (L − x)/2。

点荷载的微积分

上述方法适用于连续的、光滑的荷载函数。但在现实世界中，我们必须处理点荷载和力矩。因此，我们将位置为a的点荷载P的狄拉克函数用作

$P\left\langle x-a\right\rangle ^{-1}$

并将位置为a的点力矩M 用作

$M\left\langle x-a\right\rangle ^{-2}$

现在，之前给出的方程可以在狄拉克函数的规则下使用。函数本身的定义如下

$\left\langle x-a\right\rangle ^{n}=\left\{{\begin{matrix}0&x<a\\(x-a)^{n}&x>a\end{matrix}}\right.$

考虑一根长度为L的梁，两端支撑，中心承受点载荷P。根据狄拉克定义，有：

$q=-P\left\langle x-L/2\right\rangle ^{-1}$

一端处的剪力仅仅是支撑反力P/2。任意点处的剪力由下式给出：

$V=\int _{0}^{x}qdx=\int _{0}^{x}-P\left\langle x-L/2\right\rangle ^{-1}dx=-P\left\langle x-L/2\right\rangle ^{0}+P/2$

一端处的弯矩为零。任意点处的弯矩由下式给出：

$M=\int _{0}^{x}Vdx=-P\left\langle x-L/2\right\rangle +{\frac {Px}{2}}$

应用狄拉克函数定义，我们有剪力为：

$V=\left\{{\begin{matrix}P/2&x<L/2\\-P/2&x>L/2\end{matrix}}\right.$

$M=\left\{{\begin{matrix}{\frac {Px}{2}}&x<L/2\\{\frac {P(L-x)}{2}}&x>L/2\end{matrix}}\right.$

注意，以上是拉普拉斯变换这种通用方法的一个特例。

练习

1. 使用狄拉克方法求解上述梁的剪力和弯矩。

2. 上述梁有两个载荷，可以根据图示进行建模。求解梁上任意点处的剪力和弯矩。

3. 考虑上述带有悬臂的梁。求解梁轴线上各点处的剪力和弯矩。

梁的应力和应变

已知每个横截面的载荷和弯矩，我们可以计算每个位置的应力和应变。

考虑一根细长梁的弯曲（其横截面远小于长度）。作用在梁上的弯矩会导致一种称为挠曲的变形。设梁的密切圆半径为ρ。考虑中性面（变形为零）上的一个微元长度ds。该微元在曲率中心处所对的角为θ，因此：

ds/dθ = ρ

如果我们沿着半径移动距离y，所对的弧长将为(ρ − y) dθ。因此，微元伸长量将为y dθ。对于足够小的曲率，我们有中性面上的距离将与初始未变形长度相同，即dx。这使我们得到任意点x处的轴向应变为：

ε_x = y/ρ

此外，根据胡克定律，我们有：

σ_x = E ε_x = Ey/ρ

现在，我们知道一个纯弯矩M作用在梁上，因此没有轴向力。或者：

∑ F_x = 0

∫ σ_x dA = 0

∫ y dA = 0

上述等式给出中性面的位置。

此外，应用平衡关系中的力矩守恒部分，我们有：

M − ∫ σ_x dA y = 0

现在，我们知道：

σ_x = Ey/ρ

并且

I = ∫ y² dA

其中I是惯性矩，因此：

M = E/ρ I

或者

E/ρ = M/I

因此，我们有由于纯弯矩引起的应力的表达式为：

σ_x = My/I

假设y的最大值为c（中性面到距离），那么我们有：

σ_max = Mc/I

量I/c被称为梁的截面模量，用S表示。

σ_max = M/S

具有任意弯矩的梁

到目前为止，我们已经考虑了受M_z方向力矩作用的梁。假设存在另一个M_y方向的力矩。请注意，M_x方向的力矩将仅仅是扭转效应，因为轴线位于x方向。现在，很容易看出，力矩的组合实际上等同于作用于任意横截面的梁上的力矩。可以很直观地证明，在这种情况下，横截面面上任意点(y, z)处的应力是I_z、I_y和I_yz的函数。

梁的剪切

之前，我们已经了解了计算梁上剪切力的方法。现在，我们可以像分析弯矩产生的应力一样，分析剪切力产生的应力。我们证明了剪切力V由V = dM/dx给出，其中M是作用于x点处的力矩。