材料强度/弱链判定——基于三参数威布尔统计

材料强度

工程力学中的材料强度

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当材料的某个特性在测量数据中显示出较大离散度（例如，脆性材料的强度测量结果，或如参考文献 [1] 中所列的厚度存在重大变化的螺纹）时，可以通过基于三参数威布尔统计学分析测量数据来获得该特性，或该特性中最弱环节的特征值。

简介

当材料需要进行强度判定时，一系列强度测量会显示出离散度。当离散度相对于系列的平均值较低时，可以通过以下公式定义最小强度值 $f_{min}$：

(1) $f_{min}=f_{a}-u.s$

其中 $f_{a}$ 是平均强度，$s$ 是测量系列的标准偏差，$u$ 是与不失效概率相关的系数（例如，与 0.0001 的失效概率相关）。

然而，许多材料，例如厚度存在重大变化的螺纹，以及退火玻璃等脆性材料，会显示出相对于系列的平均值而言较大，甚至非常大的离散度。甚至一系列测量值的平均值的离散度，相对于总平均值而言也可能显示出如此大的离散度，以至于应用表达式 (1) 会导致无意义的最小强度。

在这些情况下，可以使用双参数威布尔分布描述强度测量系列，该分布表明最小值接近于零，或者：

(2) $F(f;\alpha ,\beta )=1-\exp \left[-\left({\frac {f}{\beta }}\right)^{\alpha }\right]$

其中 $F$ 是失效的累积概率，$f$ 是测得的强度值，$\alpha$ 是第一个或形状参数，$\beta$ 是第二个或尺度参数。

最小适用强度值 $f_{min}$ 可以通过以下表达式确定：

(3) $f_{min}=\beta \left[\ln {\frac {1}{1-F}}\right]^{\frac {1}{\alpha }}$

其中，失效的累积概率 $F$ 值很低，例如 0.0001。

当强度测量的离散度极其大，或者最小强度值肯定大于零时，直接应用双参数威布尔分布就没有意义，应该用更复杂的方法代替，从而使用三参数威布尔分布，表示为：

(4) $F(f;\alpha ,\beta )=1-\exp \left[-\left({\frac {f-\gamma }{\beta }}\right)^{\alpha }\right]$

其中 $\gamma$ 是第三个参数，即强度的最小值。换句话说，即最薄弱环节。

还需考虑的是，参数应视为具有均值和方差的随机变量的分布 ${\mathcal {D}}$。

(5) 第一个参数，也称为形状参数：$\alpha ={\mathcal {D}}(\alpha _{m},Var_{\alpha })$

(6) 第二个参数，也称为尺度参数：$\beta ={\mathcal {D}}(\beta _{m},Var_{\beta })$

(7) 第三个参数，也称为位置参数：$\gamma ={\mathcal {D}}(\gamma _{m},Var_{\gamma })$

量化方法

为了量化三个参数，尤其是第三个参数，即最薄弱环节，需要大量的数据，并将其分组为多个系列。这些系列需要从批次中抽取的测量样品中获得，每个批次应视为相对同质。然后，可以按照以下迭代步骤估算参数：

步骤 i：使用三参数 Weibull 分布，但将第三参数声明为 $\gamma _{min}=0$。使用最佳拟合方法将每个数据系列放入该分布中。这将为每个系列提供参数 $\alpha$ 和 $\beta$。有关最佳拟合方法，请参见参考文献 [2]，以及维基百科条目 "Weibull 模量"。

步骤 ii：使用这些参数 $\alpha$ 和 $\beta$，计算特定的值和范围，例如平均值 $f_{a}$ 和范围 $R_{p2-p1}=f_{p2}-f_{p1}$，其中可能 $p1=0.05$ 和 $p2=0.95$。

步骤 iii: 将所有特定范围/特定值对，例如 $R_{p2-p1}$/$f_{a}$ 对，绘制成笛卡尔图，横坐标为特定范围，纵坐标为特定值。结果应为指向纵坐标的拉伸云。

步骤 iv: 计算趋势，或回归线，并计算特定范围等于零时的特定值。获得的值，$f_{a,R=0}$，也是第三个参数的平均值 $\gamma _{a,R=0}$。

步骤 v: 计算残差标准差的最佳估计值 $s_{r}$，这是估计第三个参数的下限值，即实际最弱环节 $\gamma _{min}$ 所需的，表达式为

(8) $s_{r}={\sqrt {K_{f}{\frac {1-r^{2}}{n-2}}}}$ 和 (9) $K_{f}=\sum _{i=1}^{n}f_{a}^{2}-{\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}f_{a}\right)^{2}$

其中 $K_{f}$ 是平均值 $f_{a}$ 值的平方和，$n$ 是对数，$r$ 是相关系数。

步骤 vi: 通过以下公式计算第三个参数的下限值

(10) $\gamma _{min}=\gamma _{a,R=0}-u.s_{r}$

其中 $u$ 是正态分布的偏心率，例如 $u=1.64$，对于 0.05 的概率。

步骤 vii: 将步骤 i中使用的第三个参数替换为步骤 vi中估计的$\gamma _{min}$ 值。重复步骤 i 到 步骤 vii，直到最后一次计算的值与倒数第二次计算的值之间的差值足够小。

表示条件

为了选择整个（或多或少不均匀的）总体中最具代表性的强度测量系列，但确保在每个批次中，具有最具代表性的均匀数量的测量件，应考虑一些条件。

a) 系列数量应代表相关材料生产的足够时间间隔。由最多五个系列组成的总体无疑太小，由六到十个系列组成的总体可能会导致结果存疑。

b) 建议每个系列的测量件数量至少为 10 件。每个系列的测试件应从在可以假定为尽可能均匀的生产间隔内制造的同一批次中随机选取。

c) 每个系列的测量件应为同一尺寸：不同系列的测量件应尺寸不同。

可能测量系列最小数量示例

螺纹：例如，从一个月的生产周期内分布的四个生产间隔或批次中，每个螺纹生产尽可能均匀，第一个抗拉强度测量系列应由长度为 $l$ 的测量件组成，第二个系列应由 3 倍 $l$ 的测量件组成，第三个系列应由 10 倍 $l$ 的测量件组成。因此，总共 12 个抗拉强度测量件系列。

退火平板玻璃：例如，从一个月的生产周期内分布的四个生产间隔或批次中，每个退火平板玻璃生产尽可能均匀（例如，系列可以从一块非常大的玻璃板上获取），第一个系列应由面积为 $A_{1}$ 的测量件组成，第二个系列应由面积为 $A_{2}$ 的测量件组成，第三个系列应由面积为 $A_{3}$ 的测量件组成。对于各种表面，请参考国际标准系列 CEN ISO 1288（参考文献 [3]）。因此，总共 12 个系列

计算机生成的示例

图 1

下面给出了一个使用计算机生成数据的示例。

测量件:

- 4 个批次，每个批次包含 3348 个强度值；

- 每个批次提供 3 个测量件系列，每个系列包含 121 个、25 个或 9 个强度值，分别对应第一、第二和第三个系列；

- 每个系列包含 12 个测量件；

- 共计 4 x 3 x 12 = 144 个测量件；

- 强度值 $f_{i}$ 是根据以下表达式随机分布的

(11) $f_{i}=20+4\mu _{0}+\left[\left(40+40\mu _{0}\right)\left(\mu _{1}+\mu _{2}\right)\right]$

其中 $\mu _{0}$ 是与批次相关的随机变量，其值介于 0 和 1 之间，而 $\mu _{1}$ 和 $\mu _{2}$ 是与任何应力值相关的随机变量，其值也介于 0 和 1 之间；

第三参数估计:

步骤 i 到 vii 已执行两次。结果以图形方式显示在图 1 中。通过重复整个过程 20 次来调查该方法的稳定性。平均最小第三参数值为 $\gamma _{min}$ 为 16.2，标准差为 $s_{\gamma _{min}}$=2.2。

背景

符号

$f$ = 出现次数，例如断裂应力

$m$ = 表示平均值的下标

$A$ = 一个维度，例如长度、面积等

$F$ = 事件发生的概率

$K$ = 影响事件发生，最负面的不规则程度

$R$ = 范围，或两个事件之间差值的数值

$Var$ = 一系列值内的方差

$\alpha$ = 威布尔分布的第一个参数

$\beta$ = 威布尔分布的第二个或尺度参数

$\gamma$ = 威布尔分布的第三个参数

参数受随机变化影响的威布尔分布

以下部分提供了将“引言”中的表达式推导出“量化方法”中步骤 v 和 步骤 vi 中表达式的相关信息。

从表达式（4）中，属于特定事件概率 F 的应力 $f_{F}$ 为

(i) $f_{F}=\gamma +\beta \left(\ln {\frac {1}{1-F}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}$

从表达式 (i) 和表达式 (5) 到 (7) 可以得出以下结论

首先，具有确定发生概率的应力的方差为

(ii) $Var_{F}=Var_{\gamma }+Var_{\beta +\alpha }$，其中 + 表示“与…组合”。

当以 $\ln {\frac {1}{1-F}}=1$ 的方式选择概率 $F$ 时，表达式 (i) 将简化为

(iii) $f_{F}=\gamma +\beta$，可以详细写成

(iv.a) 平均值 $f_{F;m}=\gamma _{m}+\beta _{m}$ 和

(iv.b) 方差 $Var_{F}=Var_{\gamma }+Var_{\beta }$

其次，应力值 $f_{F}$ 具有确定的概率 $F$ 发生，其值与第二个参数 $\beta$ 的值呈线性关系。当 $\beta$ 的值可以减小到零时，剩余的表达式将是

(v) $f_{F}=\gamma$，可以详细描述为

(vi.a) 平均值 $f_{F;m}=\gamma _{m}$ 和

(vi.b) 方差 $Var_{F}=Var_{\gamma }$

第二个或尺度参数 $\beta$ 的性质

物体在应力下的失效，例如线材或退火玻璃等脆性材料，取决于物体的尺寸 $A$ 以及这些不规则性的强度 $K$，从这些不规则性开始失效。例如，对于线材，尺寸以长度为特征，不规则性的强度以厚度变化等为特征。在退火玻璃的情况下，尺寸以物体的表面为特征，不规则性的强度以该表面上缺陷的存在和深度为特征。

这种依赖关系可以表示为

(vii) ${\frac {\beta _{A_{1}}}{\beta _{A_{2}}}}=K\left({\frac {A_{2}}{A_{1}}}\right)^{\frac {1}{a}}$

因此，表达式 (6) 可以通过以下方式更详细地描述：

(viii) $\beta _{A_{1}}={\mathcal {D}}\left[K\left({\frac {A_{2}}{A_{1}}}\right)^{\frac {1}{a}}\beta _{A_{2;m}},K\left({\frac {A_{2}}{A_{1}}}\right)^{\frac {1}{a}}Var_{A_{2;m}}\right]=K\left({\frac {A_{2}}{A_{1}}}\right)^{\frac {1}{a}}{\mathcal {D}}\left(\beta _{A_{2;m}},Var_{A_{2;m}}\right)$

此表达式表明，当尺寸 $A_{1}$ 趋近于无穷大，或不规则性使得 $K$ 趋近于零时，第二个参数 $\beta$ 趋近于零。

第二个参数 $\beta$ 降至零

对于某一特定测量系列，事件 $f_{F_{1}}$ 发生的概率为 $F_{1}$，事件 $f_{F_{2}}$ 发生的概率为 $F_{2}$，则

(ix) $f_{F_{1}}=\gamma +\beta \left(\ln {\frac {1}{1-F_{1}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}$ 和

(x) $f_{F_{2}}=\gamma +\beta \left(\ln {\frac {1}{1-F_{2}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}$

当说明该特定测量系列的范围 $R_{F_{1}-F_{2}}$ 为

(xi) $R_{F_{1}-F_{2}}=f_{F_{1}}-f_{F_{2}}=\beta \left[\left(\ln {\frac {1}{1-F_{1}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}-\left(\ln {\frac {1}{1-F_{2}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}\right]$

则第二个参数 $\beta$ 可以表示为

(xii) $\beta ={\frac {R_{F_{1}-F_{2}}}{\left(\ln {\frac {1}{1-F_{1}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}-\left(\ln {\frac {1}{1-F_{2}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}}$

当用表达式 (xii) 代替表达式 (ix) 中的 $\beta$ 时，结果是

(xiii) $f_{F_{1}}=\gamma +{\frac {R_{\left(F_{1}-F_{2}\right)}\ln \left({\frac {1}{1-F_{1}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}{\left(\ln {\frac {1}{1-F_{1}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}-\left(\ln {\frac {1}{1-F_{2}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}}$

此外，考虑到 $\beta$ 的可变性，使用表达式 (viii) ，可以得出结论，概率为 $F_{1}$ 的事件 $f$ 是

(xiv) $f_{F_{1}}=\gamma +K\left({\frac {A_{2}}{A_{1}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}{\frac {R_{\left(F_{1}-F_{2}\right)}\ln \left({\frac {1}{1-F_{1}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}{\left(\ln {\frac {1}{1-F_{1}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}-\left(\ln {\frac {1}{1-F_{2}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}}$

这意味着当大小 $A_{1}$ 变得无限大，或者当不规则的强度非常重要时， $K$ 接近零，该事件等于第三个参数的值，或者

(xv) $f_{F_{1}}=\gamma$

详细说明如下：

(xvi.a) 平均值: $f_{F_{1;m}}=\gamma _{m}$

(xvi.b) 方差: $Var_{F_{1}}=Var_{\gamma }$

结论

根据 (xiii)，测量值对 $R_{F_{1}-F_{2}}$ 和 $f_{F_{1}}$ 可以放在一个笛卡尔图中，这应该会给出一些点的散布，其中散布由 $\alpha$，$\beta$ 和 $\gamma$ 的分布决定。当每个测量系列的样本在尺寸上没有差异，或者当这些系列来自在不规则程度方面没有显著差异的批次时，散布将是不确定的点云。不能得出任何结论。另一方面，当这些差异得到尊重时，散布允许绘制 $f_{F_{1}}$ 作为范围 $R_{F_{1}-F_{2}}$ 的函数的回归线，以及当范围 $R_{F_{1}-F_{2}}$ 等于零时，应用表达式 (xv)，从而实现上述的量化方法。

参考文献

[1] 材料强度/未分类主题

[2] 典型玻璃类型弯曲强度 - 雅各布·兹瓦特 - 国际玻璃评论，平板玻璃，第 3 期，1999 年。

[3] 欧洲和国际标准系列 EN ISO 1288：建筑玻璃 - 玻璃弯曲强度的测定