A 级数学/OCR/C3/数值方法

求解方程的根

在这个模块中，我们将探索近似求解一个方程的根。下面我们有两个图。

使用图形求解方程的根

在图中，我们有两个函数。如果我们想要近似求解方程的根，我们需要看看函数与 x 轴的交点。淡紫色函数在 2.05 和 2.25 之间的某个地方与 x 轴相交。绿色函数在 1 和 3.5 附近有根。如果我们想要知道绿色函数何时等于淡紫色函数，我们需要看看图。当两个图相交时，它们是相等的。这个数字将是根。在本例中，它大约是 1.75。我们也可以说，在这个定义域上，两个函数只相交一次。

通过寻找符号变化求解方程的根

当一个函数有根时，函数的值将从正值变为负值，反之亦然。如果下面是淡紫色函数的值表，我们可以说根出现在 2.05 和 2.10 之间。

x	f(x)
2	-1
2.05	-.4849
2.1	.061
2.15	.63838
2.2	1.248
2.25	1.08906

迭代公式

迭代公式是指由自身组成的公式。也就是说，函数的输出是函数的下一个输入。$x_{n+1}=F(n)$。这些函数是近似值的序列，通常收敛到函数的值。你可以通过输出越来越接近彼此的事实来判断函数是否收敛，如果没有发生这种情况，那么函数发散，并且没有值。迭代公式的输出写成

$x_{2}\,$

$x_{3}\,$

$x_{4}\,$

第一个 x 是为你提供的。迭代公式的输出用希腊字母 alpha 表示：α。当 $x_{n}=x_{n+1}$ 到所需的位数时，可以找到 α 的精度。给定一个迭代函数，你可以找到一个方程的根。此外，你还可以从给定的迭代函数中找到函数，方法是设置 x = 迭代函数，然后求解，这样你就可以在一侧得到一个零。上述过程可以反过来进行。

示例

给定由迭代公式 $\left(2x+5\right)^{\frac {1}{3}}$ 定义的序列，其中 $x_{1}=2$ 收敛到 $\alpha$

1. 求解 $\alpha$，精确到小数点后 4 位。
2. 求解以 $\alpha$ 为根的方程。
3. 该方程是否有其他根？

对于迭代公式，我们有

1. 我们将 $x_{1}$ 代入得到 $x_{2}$，以此类推
   1. $x_{2}=\left(2\times (2)+5\right)^{\frac {1}{3}}=2.0801$
   2. $x_{3}=\left(2\times (2.0801)+5\right)^{\frac {1}{3}}=2.0924$
   3. $x_{4}=\left(2\times (2.0924)+5\right)^{\frac {1}{3}}=2.0942$
   4. $x_{5}=\left(2\times (2.0942)+5\right)^{\frac {1}{3}}=2.0945$
   5. $x_{6}=\left(2\times (2.0945)+5\right)^{\frac {1}{3}}=2.0945$
   6. $\alpha =2.0945\,$
2. $x=\left(2x+5\right)^{\frac {1}{3}}$
   1. $x^{3}=2x+5\,$
   2. $x^{3}-2x-5=0\,$
3. 要确定函数是否有根，只需绘制 x 的最高次幂的图像，然后绘制其余部分的图像。 它们交叉的次数就是根的数量。
   1. 如果我们绘制 $y=x^{3}$ 和 $y=2x+5$ 的图像，我们可以看到它们只交叉一次。
   2. 该函数只有一个根。

辛普森求积公式

为了求曲线下的面积，我们已经学习了梯形法则。 梯形法则的精度不高，需要非常多的梯形才能得到非常精确的面积。 辛普森求积公式在求曲线下的面积方面更加精确。 辛普森求积公式指出

$\int _{a}^{b}ydx\approx {\frac {1}{3}}h\left\{\left(y_{0}+y_{n}\right)+4\left(y_{1}+y_{3}+\ldots +y_{n-1}\right)+2\left(y_{2}+y_{4}+\ldots +y_{n-2}\right)\right\}$

其中$h={\frac {b-a}{n}}$，n 是偶数。

示例

使用辛普森法则求解 $\int _{1}^{5}x^{2}+2x\,dx$，其中 h = 1。

$\int _{1}^{5}x^{2}+2x\,dx\approx {\frac {1}{3}}\left[\left(1^{2}+2\times 1\right)+4\left(2^{2}+2\times 2\right)+2\left(3^{2}+2\times 3\right)+4\left(4^{2}+2\times 4\right)+\left(5^{2}+2\times 5\right)\right]$

$\int _{1}^{5}x^{2}+2x\,dx=65{\frac {1}{3}}$

曲线 $x^{2}+2x\,$下方的面积等于 $65{\frac {1}{3}}$.

这是真实值。如果我们将它与梯形法则得到的 66 和中点法则得到的 65 进行比较，可以看出辛普森法则最准确。

这是 C3（核心数学 3）模块的一部分，属于 A-level 数学 文本。