A-level 数学/OCR/C3/微分

目前，您能够求导的函数仅限于相对简单的函数。现在我们将看看一些更复杂的函数以及求导它们的一些新方法。

微分规则

自然函数有两个特殊的导数需要您记忆。导数 $\operatorname {e} ^{x}$ 是独特的，因为它本身就是它的导数。如果指数中有一个常数，那么导数将乘以该常数。导数 $\ln x\,$ 很重要，因为 x 前面的任何常数在导数中都会被去掉。

{\frac {d}{dx}}\operatorname {e} ^{kx}=k\operatorname {e} ^{kx}

{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}

任何底数的指数函数的导数为：

{\frac {d}{dx}}\operatorname {a} ^{x}=\operatorname {a} ^{x}\ln(\operatorname {a} )

求 $y=\operatorname {e} ^{6x}+\ln 5x$ 的导数。

使用这些规则，我们得到

${\frac {dy}{dx}}=6\operatorname {e} ^{6x}+{\frac {1}{x}}$

记住： $\ln 5x=\ln 5+\ln x\,$ ，所以 ${\frac {d}{dx}}\ln 5x={\frac {d}{dx}}\ln 5+\ln x=0+{\frac {1}{x}}$ .

乘积法则指出，如果 $y=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\,$ 那么 ${\frac {dy}{dx}}=f'\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g'\left(x\right)$ .

求 $y=x^{2}\cdot 18x$ 的导数。

${\frac {dy}{dx}}=2x\cdot 18x+x^{2}\cdot 18$

${\frac {dy}{dx}}=36x^{2}+18x^{2}$

${\frac {dy}{dx}}=54x^{2}$

商法则指出：如果 $y={\frac {f(x)}{g(x)}}$ 那么 ${\frac {dy}{dx}}={\frac {f^{'}(x)g(x)-g^{'}(x)f(x)}{\left\{g(x)\right\}^{2}}}$ .

求 $y={\frac {5x+3}{2x-1}}$ 的导数。

${\frac {dy}{dx}}={\frac {5\times \left(2x-1\right)-\left(5x+3\right)\times 2}{\left\{2x-1\right\}^{2}}}$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {10x-5-10x-6}{\left\{2x-1\right\}^{2}}}$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {-11}{\left\{2x-1\right\}^{2}}}$

链式法则指出：如果 $y=f[g(x)]\,$ ，那么 ${\frac {dy}{dx}}=f^{'}[g(x)]\cdot g^{'}(x)$ 。

求 $y=\left(2x^{2}-3\right)^{2}$ 的导数。

${\frac {dy}{dx}}=2\left(2x^{2}-3\right)4x$

${\frac {dy}{dx}}=8x\left(2x^{2}-3\right)$

如果我们想要反函数的导数，我们需要使用以下规则： ${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\frac {dx}{dy}}}\ if\ {\frac {dx}{dy}}\neq 0$ 。

$f\left(x\right)={\frac {x-1}{x+2}}$ 的反函数的导数是多少？

使用商法则求原函数的导数。

${\frac {dy}{dx}}={\frac {3}{(x+2)^{2}}}$

为了求反函数的导数，我们使用这个规则。

${\frac {dx}{dy}}={\frac {(x+2)^{2}}{3}}$

微积分可以用于需要根据相互影响的变量找到问题的最大值或最小值的情况。涉及相关变化率的问题非常多样，并在许多实际应用中使用，例如：从最少的纸板中找到盒子最大体积到计算容器充满所需时间。您需要用代数方式写出问题，然后使用一阶导数找到最大值或最小值。一般步骤如下：

如果一个正在移动的 6 米长的梯子（C）靠在墙上，梯子底部和墙壁之间的距离以每秒 1.5 米的速度增加，那么当梯子底部距离墙壁 3 米时，梯子顶部在墙上向下移动的速度是多少？

第一步是列出我们知道的内容和我们正在处理的形状。
1. 形状是三角形。因此我们将使用 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 。
2. A = ? B = 3 ${\frac {db}{dt}}=1.5$ C = 6
第二步是找出我们需要求解的值。
1. ${\frac {da}{dt}}$
第三步是建立方程式并对变量进行微分。在这个方程式中，变量是时间。

1. $2a{\frac {da}{dt}}+2b{\frac {db}{dt}}=0{\frac {dc}{dt}}$
然后将所有相关信息输入方程。
1. $a{\frac {da}{dt}}+3\times 1.5=0$
如果缺少任何数据，请查看是否可以通过方程获得。
1. $a^{2}+3^{2}=6^{2}$
2. $a=3{\sqrt {3}}$
完成问题。
1. $3{\sqrt {3}}{\frac {da}{dt}}+3\times 1.5=0$
2. ${\frac {da}{dt}}=-{\frac {4.5}{3{\sqrt {3}}}}$
当梯子的底部距离墙壁 3 米时，梯子的顶部将以 $-{\frac {4.5}{3{\sqrt {3}}}}{\frac {metres}{s}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {metres}{s}}$ 的速度向下滑动。

如果沙子以每分钟 5 立方厘米的速度被倒入地面上，形成圆锥形。沙子堆积的方式是堆的半径等于堆的高度。当沙堆的体积为 9π 立方厘米时，半径以多快的速度增长？

第一步是列出我们知道的内容和我们正在处理的形状。
1. 形状为圆锥。圆锥体积的公式为 $v={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$ 。
2. V = 9π， ${\frac {dv}{dt}}=5$ ，r = h
第二步是找出我们需要求解的值。
1. ${\frac {dr}{dt}}$
第三步是建立方程式并对时间进行微分。
1. $v={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$
2. 由于 r = h，我们有 $v={\frac {1}{3}}\pi r^{3}$
3. ${\frac {dv}{dt}}=\pi r^{2}{\frac {dr}{dt}}$
然后将所有已知量代入方程。
1. $5=\pi r^{2}{\frac {dr}{dt}}$
如果缺少任何数据，请查看是否可以通过方程获得。
1. $9\pi ={\frac {1}{3}}\pi r^{3}$
2. $r=3$
完成问题。
1. $5=\pi 3^{2}{\frac {dr}{dt}}$
2. ${\frac {dr}{dt}}={\frac {5}{9\pi }}$
当体积为 9π $cm^{3}$ 时，半径将以 ${\frac {5}{9\pi }}{\frac {cm}{min}}$ 的速率增长。