A-level 数学/OCR/C3/特殊函数和变换

模函数

模函数写作 ${\begin{vmatrix}x\end{vmatrix}}$ ，它的定义为 ${\begin{vmatrix}x\end{vmatrix}}={\begin{cases}-x,&{\mbox{if }}x\leq 0\\x,&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}$ 。你也可以写作 ${\begin{vmatrix}a\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}b\end{vmatrix}}\Longleftrightarrow a^{2}=b^{2}$ ，因为二次幂会将任何负数变为正数，然后你取开方，函数变回原来的函数。模函数具有多对一映射，因此没有反函数。当结果的值而不是它的符号很重要时，就会使用模函数。在英国英语中，模函数这个词通常用来表示它，否则它被称为 *绝对值函数*。所以在大多数计算器上你会看到 abs()。

解模不等式

当解包含模的不等式时，重要的是记住你不能简单地忽略模。相反，你需要使用规则： $|x|\leq b\iff -b\leq x\leq b$ 。然后你像解普通问题一样解它。例如

解关于 x 的方程 $|3x-2|\leq 4$

$-4\leq 3x-2\leq 4$

$-2\leq 3x\leq 6$

$-2/3\leq x\leq 2$

模函数的图像

y=|f(x)| 的图像

在 $y={\begin{vmatrix}f\left(x\right)\end{vmatrix}}$ 的图像中，图像的负半部分被反射到 x 轴上。以下是 ${\begin{vmatrix}f\left(x\right)\end{vmatrix}}=x^{2}-5$ 的图像。

y=f(|x|) 的图像

在 $y=f\left({\begin{vmatrix}x\end{vmatrix}}\right)$ 的图像中，图像的正半部分被反射到 y 轴上。以下是 $f\left({\begin{vmatrix}x\end{vmatrix}}\right)=x^{2}-4x$ 的图像。

自然函数

自然指数函数

底数为 e 的函数是一个超越函数，由无穷级数定义，近似值为 2.71828

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots$ .

e 是数学中最重要的数字之一，因为它被用于大多数自然增长过程的计算。由于它是一个指数函数，它遵循指数函数的所有定律。自然指数是自然对数的逆函数，因此 $e^{\ln x}=x\,$ 。右侧是 $e^{x}\,$ 的图像。

自然对数

自然对数是底数为 e 的对数函数： $\log _{e}x\,$ 。它有一个特殊的符号 $\ln x\,$ 。由于自然对数是对数函数，它遵循对数函数的所有定律。自然对数是自然指数的逆函数，因此 $\ln e^{x}=x\,$ 。右侧是 $\ln x\,$ 的图像。

指数增长和衰减

自然函数的主要用途之一是计算自然增长或衰减，可以使用以下公式计算： $y\left(t\right)=y_{0}e^{kt}\,$ ，其中 y(t) 是最终值， $y_{0}$ 是初始值，k 是增长常数，t 是经过的时间。有一种特殊的衰减是元素的半衰期，其中 k 定义为： $k=-{\frac {\ln 2}{\mbox{half-life}}}$ 。指数增长和衰减在从测量细菌菌落生长到计算涉及利息的方面都有非常广泛的应用。

指数增长的例子

一个细菌菌落从 200 个细菌开始，在 2 小时内菌落增长到 600 个细菌。预测 6 小时后菌落中细菌的数量？

由此我们知道

y(t) = 600
$y_{0}$ = 200
k = x
t = 2

现在我们将值代入公式

$600=200e^{2k}\,$

现在我们确保 e 是单独的

${\frac {600}{200}}=e^{2x}\,$

由于 ln 是反函数，我们使用它来移除底数 e。

$\ln 3=\ln e^{2x}\,$

现在我们可以解 x。

$1.1\approx 2x\,$ ，所以菌落的增长因子大约为 .55

现在我们可以预测 6 小时后细菌的数量。

$x=200e^{6\times .55}\,$

$x=5423\ bacteria\,$

半衰期衰减的例子

碳-14 的半衰期为 5730 年。100 克 C-14 样本什么时候会减少到 20% C-14 和 80% C-12？

y(t) = 20% * 100 = 20
$y_{0}$ = 100
half-life = 5730
t = x

我们将所有已知值代入函数。注意增长常数的特殊公式。

$20=100e^{\left(-{\frac {\ln 2}{5730}}\times t\right)}$

现在我们确保 e 是单独的

$.2=e^{\left(-{\frac {\ln 2}{5730}}\times t\right)}$

由于 ln 是反函数，我们使用它来移除底数 e。

$\ln .2=\ln e^{\left(-{\frac {\ln 2}{5730}}\times t\right)}$

$\ln .2=-{\frac {\ln 2}{5730}}\times t$

现在我们将方程重新排列以隔离 t。

$t=-5730{\frac {\ln .2}{\ln 2}}$

解 t 我们得到样本将在大约 13304.6 年后减少到 20% C-14 和 80% C-12。

$t\approx 13304.6\ years$

函数变换

在核心3中，我们用另外三个反射来完成我们的变换表。以下是变换的完整表格。

反射

$y=-f\left(x\right)\,$ 是 $y=f\left(x\right)\,$ 关于x轴的反射。
$y=f\left(-x\right)\,$ 是 $y=f\left(x\right)\,$ 关于y轴的反射。
$y={\begin{vmatrix}f\left(x\right)\end{vmatrix}}$ 是 $y=f\left(x\right)\,$ 当 y < 0 时，关于x轴的反射。
$y=f\left({\begin{vmatrix}x\end{vmatrix}}\right)$ 是 $y=f\left(x\right)\,$ 当 x > 0 时，关于y轴的反射。
$y=f^{-1}\left(x\right)\,$ 是 $y=f\left(x\right)\,$ 关于直线 y=x 的反射。 $y=f\left(x\right)\,$ 必须具有 1:1 映射。

拉伸

$y=f\left(bx\right)\,$ 如果 $0<b<1\,$ ，则它会远离y轴拉伸；如果 $b>1\,$ ，则它会靠近y轴拉伸。在这两种情况下，变化都是 1/b 个单位。
$y=af\left(x\right)\,$ 如果 $0<a<1\,$ ，则向 x 轴方向拉伸；如果 $a>1\,$ ，则远离 x 轴方向拉伸。在这两种情况下，变化量都是 a 个单位。