A 级数学/OCR/C3/积分

自然方程的积分

在核心三中，您将需要知道用于积分包含自然方程的函数的公式。 ${\frac {1}{x}}$ 的积分公式尤其重要，因为如果您尝试使用我们在核心二中学到的公式进行积分，您将在分母中得到零。公式如下：

$\int \operatorname {e} ^{kx}\,dx={\frac {1}{k}}\operatorname {e} ^{kx}+c$

$\int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln \left|x\right|+c$

任何底数的指数函数的积分是：$\int \operatorname {a} ^{x}\,dx={\frac {1}{\ln(\operatorname {a} )}}\operatorname {a} ^{x}+C$

示例

积分以下函数 $4x^{3}-{\frac {1}{x}}+4\operatorname {e} ^{4x}$.

使用公式，我们得到

$\int 4x^{3}-{\frac {1}{x}}+4\operatorname {e} ^{4x}\,dx=x^{4}-\ln \left|x\right|+\operatorname {e} ^{4x}+c$

涉及线性替换的积分

目前我们无法直接积分复合函数，如果我们需要积分复合函数，我们需要进行线性替换。为了积分复杂函数 f[g(x)]'，我们需要使用以下步骤。

1. 设 u = g(x)
2. 求 u 的导数并解出 dx
3. 在函数中用 u 替换 g(x)，用步骤 2 中获得的结果替换 dx。
4. 对函数进行关于 u 的积分。
5. 用 g(x) 替换 u。

示例

积分 $(12x+9)^{8}$.

1. u = 12x + 9
2. ${\frac {du}{dx}}=12$ 以及 $dx={\frac {du}{12}}$
3. $\int u^{8}{\frac {du}{12}}$ 等价于 ${\frac {1}{12}}\int u^{8}du$
4. ${\frac {u^{9}}{108}}$
5. ${\frac {(12x+9)^{9}}{108}}+C$

另一个更复杂的例子

积分 $3x(6x-2)^{5}$.

1. u = 6x - 2
2. ${\frac {du}{dx}}=6$ 以及 $dx={\frac {du}{6}}$
3. $\int 3xu^{5}{\frac {du}{6}}$
4. 然而，这次方程中还剩一个 x 项。如果周围还有 x，我们就不能对 u 进行积分，所以我们必须把它去掉。
5. 如果 u = 6x - 2，那么 x = ${\frac {u+2}{6}}$
6. 将此代入积分
7. $\int 3({\frac {u+2}{6}})u^{5}{\frac {du}{6}}$
8. 展开并整理积分
9. $\int ({\frac {u+2}{2}})u^{5}{\frac {du}{6}}$ = ${\frac {1}{6}}\int ({\frac {u^{6}+2u^{5}}{2}})du$
10. 将它分成两个并进行积分

${\frac {1}{6}}\int {\frac {u^{6}}{2}}du+{\frac {1}{6}}\int {\frac {2u^{5}}{2}}$

$={\frac {1}{6}}({\frac {u^{7}}{14}}+{\frac {2u^{6}}{12}})+C$

旋转体体积

积分用于求解将直线或直线组绕x轴或y轴旋转而成的形状的体积。我们只能围绕一个独立的轴旋转。这也是证明圆锥体和球体等形状体积公式的方法。您将在本模块中学习的方法被称为圆盘法。公式如下

$V_{x}=\pi \int _{a}^{b}y^{2}\,dx$

$V_{y}=\pi \int _{c}^{d}x^{2}\,dy$

步骤如下

1. 对函数进行平方并积分
2. 输入最高值。
3. 输入最低值。
4. 从最高值的计算结果中减去最低值的计算结果。答案必须为正数。
5. 如果曲线被另一条曲线包围，则执行步骤 1 到 5，然后从较高曲线中减去较低曲线。a 是两条曲线相遇的最高点，b 是两条曲线相遇的最低点。

示例一：曲线和轴之间的面积

求解将直线$y={\frac {2}{2x+9}}$绕x轴旋转，并由直线x = 6 和 y 轴界定的旋转体的体积。

1. 首先，我们对函数进行平方并积分
   1. $\pi \int _{0}^{6}\left({\frac {2}{2x+9}}\right)^{2}\,dx$
   2. $\pi \int _{0}^{6}{\frac {4}{\left\{2x+9\right\}^{2}}}\,dx$
   3. $\pi \left[{\frac {-2}{2x+9}}\right]_{0}^{6}$
2. 然后，我们输入最高值。
   1. ${\frac {-2}{2\times 6+9}}={\frac {-2}{21}}$
3. 然后，我们输入最低值。
   1. ${\frac {-2}{2\times 0+9}}={\frac {-2}{9}}$
4. 最后，我们从最高值的计算结果中减去最低值的计算结果。答案必须为正数。
   1. $\pi \left({\frac {-2}{21}}-{\frac {-2}{9}}\right)={\frac {8}{63}}\pi$
5. 这个实体的面积是 ${\frac {8}{63}}\pi$.

示例二：两条曲线之间的面积

求由曲线 $y=x^{2}\,$ 和 $y={\sqrt {x}}$ 绕 x 轴旋转而成的物体的体积。

1. 首先，我们找到它们相等的地方。
   1. $x^{2}={\sqrt {x}}$ x = 1 或 0
2. 然后我们对第一个函数进行积分。
   1. $\pi \int _{0}^{1}x^{4}\,dx$
   2. $\pi \left[{\frac {x^{5}}{5}}\right]_{0}^{1}$
3. 现在我们输入较大的数字。
   1. ${\frac {1^{5}}{5}}={\frac {1}{5}}$
4. 然后我们输入较小的数字。
   1. ${\frac {0^{5}}{5}}={\frac {0}{5}}$
5. 我们相减得到 ${\frac {1\pi }{5}}$
6. 现在我们需要对第二条曲线做同样的操作。
7. 我们对第二个函数进行积分。
   1. $\pi \int _{0}^{1}x\,dx$
   2. $\pi \left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{1}$
8. 现在我们输入较大的数字。
   1. ${\frac {1^{2}}{2}}={\frac {1}{2}}$
9. 然后我们输入较小的数字。
   1. ${\frac {0^{2}}{2}}={\frac {0}{2}}$
10. 我们相减得到 ${\frac {1\pi }{2}}$
11. 最后，我们从下曲线的面积减去上曲线的面积
    1. ${\frac {1\pi }{2}}-{\frac {1\pi }{5}}={\frac {3\pi }{10}}$
12. 由曲线 $y=x^{2}\,$ 和 $y={\sqrt {x}}$ 所围成的区域绕 x 轴旋转一周所得的体积为 ${\frac {3\pi }{10}}$

这是 C3（核心数学 3）模块的一部分，属于 A-level 数学 教材。