A-level 数学/OCR/C3/代数函数

函数

符号

以下是处理映射问题时使用的符号。

$\lbrace \ldots \rbrace$ 表示一组...。

例如， $\lbrace x:x\geq 2\rbrace$ 表示一组 $x$ ，其中 $x$ 大于或等于 2。

$f:X\rightarrow Y$ 表示函数 f 将集合 X 映射到集合 Y。另一种写法是 $f\left(x\right)=x$ 。

$\mathbb {N}$ - 自然数 - 例如，{1,2,3,. ..}

$\mathbb {Z}$ - 整数 - 例如，{...−2,−1,0,1,2,. ..}

$\mathbb {Q}$ - 分数（有理数）

$\mathbb {R}$ - 实数，包括有理数和无理数，但不包括复数，例如 ${\sqrt {-1}}$

无理数没有通用符号 - 它们的符号是特定的 - 例如，{ $\pi \ e\ {\sqrt {x}}$ }

定义

映射：连接两组项目的规则。

对象/输入：起始集合中的一个项目。

映像/输出：结束集合中的一个项目。

定义域：所有对象组成的集合。

陪域：所有可能的结束值组成的集合。

值域：陪域中实际使用的元素。

不同的映射

1) 唯一的 $x$ $\rightarrow$ 唯一的 $y$ （1:1 或单射映射）

2) 若干个 $x$ $\rightarrow$ 唯一 $y$ (多对一映射)

3) 唯一 $x$ $\rightarrow$ 若干个 $y$ (一对多映射)

4) 若干个 $x$ $\rightarrow$ 若干个 $y$ (多对多映射)

注意：函数只能是一对一 (单射) 或多对一映射。

基本性质

函数将每个输入值对应到唯一的输出值。如果存在两个输出值，则该公式就不是函数。例如 $y=x^{2}\,$ 是函数，因为每个 x 只有一个输出值，但 $y^{2}=x\,$ 不是函数，因为每个 x 可能有两个值，例如 4 = $-2^{2}$ 和 $2^{2}$ ，因此 x 可以是 2 或 -2。圆形（和类似形状）的图形代表多对多映射，因此它们不是函数。可以使用垂直线测试来确定图形是否为函数。该测试指出，当且仅当绘制的任何垂直线与图形只相交一次时，该图形才为函数。函数共有四种表示方法：

1) 公式

2) 图形

3) 表格

4) 文字描述

定义域和值域

每个函数都有定义域和值域。定义域是输入值的集合。值域是输出值的集合。请记住，如果函数存在反射或平移，则定义域和值域中的一个或两个都会存在反射或平移。例如

函数 $f\left(x\right)=+{\sqrt {x}}$ 的定义域是 $\left[0,\infty \right)$ ，值域是 $\left[0,\infty \right)$ ，而函数 $f\left(x\right)=-{\sqrt {x+6}}$ 的定义域是 $\left[-6,\infty \right)$ ，值域是 $\left[0,-\infty \right)$ 。参见反射规则 1 和平移规则 2.

定义域

函数的定义域通常是所有 $\mathbb {R}$ ，但以下三种情况除外：1) 如果 x 出现在分母中，分母为零的点不在定义域中，例如

$f(x)={\frac {x}{x-1}}\,$ 的定义域是除 1 之外的所有 $\mathbb {R}$ 。

2) 如果指数小于零且为偶数，定义域将是 $\left[0,\infty \right)$ ，例如

${\sqrt {x}}$ 的定义域是 $\left[0,\infty \right)$ ，但 ${\sqrt[{3}]{x}}$ 的定义域是所有 $\mathbb {R}$ 。

3) 在分段函数中，定义域会受定义的限制，例如

$f(x)={\begin{cases}x,&if\ x\leq 5\\x^{2},&if\ 5<x<10\end{cases}}$ $x^{2}$ 的定义域将是 (5,10)。

值域

对于值域，有一个简单的规则需要记住。所有偶函数的值域都是 $[0,\infty )$ ，奇函数的值域是所有 $\mathbb {R}$ 。

分段函数

分段函数是在不同区间上由不同表达式给出的函数。 $f(x)={\begin{cases}x^{2},&{\mbox{if}}\ x<2\\-\left(x-3\right)^{2}+9,&{\mbox{if}}\ x\geq 2\end{cases}}$ 的图形如右图所示。空心圆表示该点未包含在图形中，实心圆表示该点包含在图形中。因此 $f(2)$ = 8，而不是 4。

一对一函数

一对一函数必须对每个输入都有唯一的输出。例如， $f(x)=x^{2}$ 不是一对一的，因为输入 -2 和 2 都会产生输出 4，但是 $f(x)=x^{3}$ 是一对一的，因为每个输入都会产生唯一的输出，f(-2)= -8 且 f(2)=8。可以使用水平线测试来确定图形是否是一对一的。该测试指出，当且仅当绘制的任何水平线与图形仅相交一次时，函数才是一对一的。

反函数

函数的反函数将为函数的输出值产生输入值。函数必须是一对一的，反函数才存在。为了在数学上说明这一点： $f\left(x\right)=y$ 和 $f^{-1}\left(y\right)=x$ 。此外，反函数和函数的复合将产生 x： $ff^{-1}\left(x\right)=f^{-1}f\left(x\right)=x$ 。下面可以找到一个涉及苹果和柠檬的示例。原始函数将苹果变成柠檬，而反函数将柠檬变成苹果。

如何找到函数的反函数。

1) 求解关于 x 的方程

2) 将 y 与 x 交换。

3) 用 $f^{-1}\left(x\right)$ 表示法写出。

在例子中求 $f\left(x\right)={\frac {x-1}{x+2}}$ 的反函数。

1) $y={\frac {x-1}{x+2}}\iff yx+2y=x-1\iff yx-x=-2y-1\iff x={\frac {-2y-1}{y-1}}\,$

2) $y={\frac {-2x-1}{x-1}}$

3) $f^{-1}\left(x\right)={\frac {-2x-1}{x-1}}$

现在可以检验一下: $f\left(2\right)={\frac {1}{4}}$ 以及 $f^{-1}\left({\frac {1}{4}}\right)=2$ 。

一一函数的图形表示

当我们画一个一一函数的反函数的图时，我们只需要交换x和y坐标: (x,y) 变为 (y,x)。坐标 (5,7) 在反函数的图上将是 (7,5)。这个图将是关于直线 y=x 的对称图形。在右侧的例子中，红色直线是 $f\left(x\right)=x^{3}$ 的图，绿色直线是 $f^{-1}\left(x\right)={\sqrt[{3}]{x}}$ 的图。

函数的复合

函数合成的数学符号是 $\circ$ 。或者，合成也可以写成 $f\left[g\left(x\right)\right]$ 。当您合成两个函数时，您用第二个函数替换变量的所有实例。您可以通过合成中函数的书写顺序来判断函数的顺序 $F\circ G$ ，表示 F 由 G 组成。如果原始函数的定义域或值域以某种方式受限，那么复合函数也会以相同的方式受限。例如， $f\left(x\right)=2x^{2}+5$ 和 $g\left(x\right)={\sqrt {5x}}$ ，求 $f\circ g$ 。然后找出定义域和值域。