A-level 数学/OCR/C3/公式

在本模块结束时，您将被要求学习以下公式

图表的变换

反射

$y=-f\left(x\right)\,$ 是 $y=f\left(x\right)\,$ 关于 x 轴的反射。
$y=f\left(-x\right)\,$ 是 $y=f\left(x\right)\,$ 关于 y 轴的反射。
$y={\begin{vmatrix}f\left(x\right)\end{vmatrix}}$ 是 $y=f\left(x\right)\,$ 当 y < 0 时，关于 x 轴的反射。
$y=f\left({\begin{vmatrix}x\end{vmatrix}}\right)$ 是 $y=f\left(x\right)\,$ 当 x < 0 时，关于 y 轴的反射。
$y=f^{-1}\left(x\right)\,$ 是 $y=f\left(x\right)\,$ 关于直线 y = x 的反射。
注意： $f^{-1}\left(x\right)$ 仅当 $f\left(x\right)$ 是双射，即一对一且满射。

拉伸

$y=af\left(x\right)\,$ 如果 $0<a<1\,$ 则沿 x 轴方向拉伸，如果 $a>1\,$ 则沿 x 轴方向拉伸。在这两种情况下，变化都是 a 个单位。
$y=f\left(bx\right)\,$ 当 $0<b<1\,$ 时，沿着 y 轴方向拉伸；当 $b>1\,$ 时，沿着 y 轴方向压缩。两种情况下，变化幅度都是 b 个单位。

平移

$y=f\left(x-h\right)\,$ 是将 f(x) 向右平移 h 个单位。
$y=f\left(x+h\right)\,$ 是将 f(x) 向左平移 h 个单位。
$y=f\left(x\right)+k\,$ 是将 f(x) 向上平移 k 个单位。
$y=f\left(x\right)-k\,$ 是将 f(x) 向下平移 k 个单位。

自然函数

$e^{\ln x}=\ln e^{x}=x\,$
$y\left(t\right)=y_{0}e^{kt}\,$ ，其中 y(t) 是最终值， $y_{0}$ 是初始值，k 是增长常数，t 是经过的时间。
$k=-{\frac {\ln 2}{half-life}}$ ，k 用于涉及半衰期的计算。

三角函数

倒数三角函数及其反函数

$\sec \theta \equiv {\frac {1}{\cos \theta }}$
$\operatorname {cosec} \ \theta \equiv {\frac {1}{\sin \theta }}$
$\cot \theta \equiv {\frac {1}{\tan \theta }}\equiv {\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}$
$\sec ^{2}\theta \equiv 1+\tan ^{2}\theta$
$\operatorname {cosec} ^{2}\ \theta \equiv 1+\cot ^{2}\theta$

角的和差公式

$\sin(A\pm B)=\sin(A)\cos(B)\pm \cos(A)\sin(B)\,$
$\cos(A\pm B)=\cos(A)\cos(B)\mp \sin(A)\sin(B)\,$
$\tan(A\pm B)={\frac {\tan(A)\pm \tan(B)}{1\mp \tan(A)\tan(B)}}$

注意：符号 $\mp$ 表示如果加角 (A+B) 则在公式中减，反之亦然。它出现在余弦公式和正切公式的分母中。

二倍角公式

$\sin 2A\equiv 2\sin A\cos A$
$\cos 2A\equiv \cos ^{2}A-\sin ^{2}A\equiv 1-2\sin ^{2}A\equiv 2\cos ^{2}A-1$
$\tan 2A\equiv {\frac {2\tan A}{1-\tan ^{2}A}}$

三角函数的组合

使用弧度 r = 振幅 α = 相位。 $r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

a\sin x+b\cos x=r\cdot \sin(x+\alpha )\,

其中

\alpha =\arcsin {\frac {b}{r}}

$a\sin x+b\cos x=r\cdot \cos(x-\alpha )\,$

其中

\alpha =\arccos {\frac {b}{r}}

微分

如果 $y=\operatorname {e} ^{kx}\,$ , 那么 ${\frac {dy}{dx}}=k\operatorname {e} ^{kx}$
如果 $y=\ln x\,$ , 那么 ${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{x}}$
如果 $y=f(x).g(x)\,$ , 那么 ${\frac {dy}{dx}}=f^{'}(x)g(x)+g^{'}(x)f(x)$
如果 $y={\frac {f(x)}{g(x)}}$ , 那么 ${\frac {dy}{dx}}={\frac {f^{'}(x)g(x)-g^{'}(x)f(x)}{\left\{g(x)\right\}^{2}}}$
${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\frac {dx}{dy}}}$
如果 $y=f[g(x)]\,$ , 那么 ${\frac {dy}{dx}}=f^{'}[g(x)].g^{'}(x)$
${\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}.{\frac {dx}{dt}}$

积分

$\int \operatorname {e} ^{kx}\,dx={\frac {1}{k}}\operatorname {e} ^{kx}+c$
$\int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln \left|x\right|+c$

旋转体积

$V_{x}=\pi \int _{a}^{b}y^{2}\,dx$
$V_{y}=\pi \int _{c}^{d}x^{2}\,dy$

数值方法

辛普森法则 $\int _{a}^{b}ydx\approx {\frac {1}{3}}h\left\{\left(y_{0}+y_{n}\right)+4\left(y_{1}+y_{3}+\ldots +y_{n-1}\right)+2\left(y_{2}+y_{4}+\ldots +y_{n-2}\right)\right\}$

其中 $h={\frac {b-a}{n}}$ 且 n 为偶数

这是 C3（核心数学 3）模块的一部分，属于 A-level 数学文本。