抽象代数/群论/群/消去

定理

设 G 为一个群。

1. $\forall \;g,a,b\in G:(g\ast a=g\ast b)\rightarrow (a=b)$

2. $\forall \;g,a,b\in G:(a\ast g=b\ast g)\rightarrow (a=b)$

证明

0. 选择 ${\color {OliveGreen}g},a,b\in G$ 使得 ${\color {OliveGreen}g}\ast a={\color {OliveGreen}g}\ast b$
1. ${\color {BrickRed}g^{-1}}\in G$	g 在 G 中的逆的定义 (用法 1)
2. ${\color {BrickRed}g^{-1}}\ast ({\color {OliveGreen}g}\ast a)={\color {BrickRed}g^{-1}}\ast ({\color {OliveGreen}g}\ast b)$	0.
3. $({\color {BrickRed}g^{-1}}\ast {\color {OliveGreen}g})\ast a=({\color {BrickRed}g^{-1}}\ast {\color {OliveGreen}g})\ast b$	$\ast$ 在 G 中是结合律的
4. $e_{G}\ast a=e_{G}\ast b$	g-1 是 g 的逆 (用法 3)
5. $a=b\,$	eG 是 G 的单位元 (用法 3)

图表

如果 a*g = b*g...

a = a*g*g-1

b*g*g-1 = b

那么 a = b。

用法

1. 如果 a、b、x 属于同一个群，并且 x*a = x*b，那么 a = b

注意

1. a、b 和 g 必须都属于同一个群。
2. $\ast$ 必须是该群的二元运算符。
3. G 必须是一个群。