抽象代数/群论/群/逆元唯一性

定理

在一个群中，每个元素只有一个逆元。

证明

0. 选择 ${\color {OliveGreen}g}\in G$. 那么，逆元 g1−1 of g 也在 G 中。
1. 假设 g 有一个不同的逆元 g2−1 在 G 中
2. $({\color {BrickRed}g_{1}^{-1}}\ast {\color {OliveGreen}g})\ast {\color {Purple}g_{2}^{-1}}={\color {BrickRed}g_{1}^{-1}}\ast ({\color {OliveGreen}g}\ast {\color {Purple}g_{2}^{-1}})$	$\ast$ 在 G 上是结合的
3. $e_{G}\ast {\color {Purple}g_{2}^{-1}}={\color {BrickRed}g_{1}^{-1}}\ast e_{G}$	g1-1 和 g2-1 是 g 在 G 上的逆元 (用法 3)
4. ${\color {Purple}g_{2}^{-1}}={\color {BrickRed}g_{1}^{-1}}$, 与 1 矛盾。	eG 是 G 的单位元 (用法 3)