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许多现实世界的问题可以用不同的方程式来表示。通常，对于给定的问题，我们将有多个方程式。

代入法

代入法使用字母（例如 x、y 或 z）作为未知值的表示。这些字母在方程式和表达式中都被用作工具，用于解决许多不同类型的问题。在某些情况下，字母的值是已知的。如果是这样，通过使用代入法，给定的数值将替换字母。然后，在字母被数字替换后，表达式或方程式将被简化。

入门示例

人与脚

在一个房间里，我们知道脚的数量是人的两倍，可以用方程式 $f=2p$ 来表示，其中 $f$ 表示脚的数量， $p$ 表示人的数量。已知有 20 个人，那么我们可以创建另一个方程式 $p=20$ 。列出我们拥有的两个方程式

$f$	$=2p$
$p$	$=20$
用 $p$ 代入，我们得到方程式
$f$	$=2\times 20$
	$=40$

所以我们知道有 40 只脚。

房屋与面积

然而，其他情况可能会变得更加复杂。假设你邻居的房子是你房子的 1.5 倍大，但如果你不计算你邻居的 50 平方单位的地下室，它们的大小是一样的。这两个房子分别有多少平方单位？让 $y$ 是你整个楼层的面积，而 $n$ 是你邻居的楼层的面积。这个问题可以用两个方程式表示。

$n$	$=1.5y$
$y$	$=n-50$

这里，您有两个方程，与之前一样，但这次它们都有两个变量，而在上一个示例中，一个方程有一个变量，另一个有两个变量。但是，您仍然可以使用代入法，尽管您只需要用方程的表达式代替常数即可。现在我们用第一个方程的等式右边代替第二个方程中的 $n$

$1.5y-50$	$=y$	两边都减去y
$0.5y-50$	$=0$	两边都加上50
$0.5y$	$=50$	两边都乘以2
$y$	$=100$

现在我们可以将您地板的面积代入第一个方程，以获得您邻居地板的面积

$n$	$=1.5\times 100$
	$=150$

线性方程组

上面我们介绍了两个现实世界的例子（尽管是简化的），线性方程组对于解决这些例子很有用。由两个或多个线性函数组成的方程称为线性方程。这些线性方程的集合称为线性方程组。简而言之，只有当变量的数量等于或小于提供的方程数量时，才能解线性方程。求解线性方程组最常见的方法是使用代入法，如上所示。但是，我们可以使用矩阵表示这些方程，使我们更容易地看到模式并执行操作。让我们从一组3个方程开始

$x+2y+3z$	$=12$
$2x+3y+z$	$=17$
$3x+y+2z$	$=19$

左侧的矩阵表示变量的系数，称为系数矩阵。右侧包含方程的等式右边，构成了所谓的增广矩阵。

{\begin{bmatrix}1&2&3\\2&3&1\\3&1&2\end{bmatrix}}

→

{\begin{bmatrix}1&2&3&\vdots &12\\2&3&1&\vdots &17\\3&1&2&\vdots &19\end{bmatrix}}

通常情况下，解上述方程将看起来像下面左边的表格，而矩阵解将看起来像右边的表格。

$e_{1}$	$x+2y+3z$	$=12$
$e_{2}$	$2x+3y+1z$	$=17$
$e_{3}$	$3x+y+2z$	$=19$
$e_{2}-2e_{1}$	$-y-5z$	$=-7$
$e_{3}-3e_{1}$	$-5y-7z$	$=-17$
$e_{5}-5e_{4}$	$18z$	$=18$
$e_{6} \over 18$	$z$	$=1$
$e_{4}$	$-y-5(1)$	$=-7$
$-5-e_{4}$	$y$	$=2$
$e_{1}$	$x+2(2)+3(1)$	$=12$
$e_{2}-7$	$x$	$=5$

${\begin{bmatrix}1&2&3&\vdots &12\\2&3&1&\vdots &17\\3&1&2&\vdots &19\end{bmatrix}}$	$r_{2}-2r_{1}\Rightarrow r_{1}$
${\begin{bmatrix}1&2&3&\vdots &12\\0&-1&-5&\vdots &-7\\3&1&2&\vdots &19\end{bmatrix}}$	$r_{3}-3r_{1}\Rightarrow r_{3}$
${\begin{bmatrix}1&2&3&\vdots &12\\0&-1&-5&\vdots &-7\\0&-5&-7&\vdots &-17\end{bmatrix}}$	$r_{3}-5r_{2}\Rightarrow r_{3}$
${\begin{bmatrix}1&2&3&\vdots &12\\0&-1&-5&\vdots &-7\\0&0&18&\vdots &18\end{bmatrix}}$	$tobecontinued$