y=2x 的图形
仅仅根据函数定义来理解函数的行为有时比较困难,可视化表示或图形可以非常有用。图形是笛卡尔平面中的点集,其中每个点
表示
。换句话说,图形使用一个方向上的点的位置(纵轴或
轴)来表示另一个方向上的点的位置(横轴或
轴)的
值。
可以通过找到不同
的
值并绘制笛卡尔平面上的点
来绘制函数图形。对于您将要处理的函数,点之间的函数部分通常可以通过在点之间绘制直线或曲线来近似。也可以将函数扩展到点集之外,但这会变得越来越不准确。
线性函数的作图很容易理解和进行。因为我们知道两点可以构成一条直线,所以如果这两点位于函数上,那么我们只需要两个点就可以绘制线性函数的图形。相反,如果我们只知道两个位于函数上的点,我们就可以写出线性函数的方程。
以下部分主要介绍线性函数符号的不同形式,以便您能够轻松识别或绘制函数图形。
这样绘制点非常费力。幸运的是,许多函数的图形都遵循一般的模式。对于简单的情况,考虑以下形式的函数:

的图形是一条直线,经过点
,斜率为 3。因此,在绘制完点之后,可以使用直尺来绘制图形。这种类型的函数被称为线性函数,有几种不同的方法来表示这种类型的函数。
斜率是线性函数的基础,因为它表示当输入变化时函数的输出变化多少。例如,如果函数的斜率为 2,则表示当函数的输入增加 1 个单位时,函数的输出增加 2 个单位。现在,让我们来看一个更数学的例子。
考虑以下函数:
。数字
代表什么?
这意味着当
增加 1 时,
减少 5。
用数学术语来说

计算斜率很容易,因为斜率就像车辆的速度。如果我们将距离的变化除以相应的时间变化,我们就会得到速度。类似地,如果我们将
的变化除以相应
的变化,我们就会得到斜率。如果给定两点,
和
,我们可以计算通过这两点的直线的斜率。请记住,斜率被确定为“上升量除以前进量”。也就是说,斜率是
值的变化除以
值的变化。用符号表示

有趣的是,斜率与函数图形与正
轴之间的角度
之间存在着微妙的关系。这种关系是

这是一个显而易见的关系,但很容易被忽略。
这是一个用斜截式表示的线性函数。这里的斜率是
而不是
.当我们看到一个函数表示为

我们称这种表示为斜截式。这是因为,不出所料,这种写线性函数的方式包含了斜率,
,和
-截距,
。
示例 1: 画出函数
的图。
该函数的斜率为 3,它与
轴相交于点
。为了画出该函数,我们需要另一个点。由于该函数的斜率为 3,所以


知道该函数经过点
,该函数就可以很容易地画出来。
示例 2: 现在,考虑另一个未知的线性函数,它经过点
。该函数的方程是什么?
可以用上面提到的公式计算斜率。

并且由于
轴截距是
,我们可以知道

因此,该线性函数的方程应为

如果有人走到你面前,给你一个点和一个斜率,你可以画出一条且只有一条经过该点且具有该斜率的直线。换句话说,一个点和一个斜率唯一地确定一条直线。因此,如果给定一个点
和一个斜率
,我们将图表示为

我们称这种表示为点斜式。点斜式和斜截式本质上是相同的。在点斜式中,我们可以使用图经过的任何点。而在斜截式中,我们使用
-截距,即点
。点斜式非常重要。虽然它不像其对应物斜截式那样经常使用,但了解一个点并沿着斜率方向画出直线的概念,在我们未来章节中学习直线和平面的向量方程时将会遇到。
示例 1:如果一个线性函数经过点
,该函数的方程是什么?
斜率为

由于我们知道两个点,以下答案都是正确的

两点式是另一种写线性函数方程的形式。它类似于点斜式。给定点
和
,我们有方程

本演示文稿使用的是两点式。它本质上与点斜式相同,只是我们将表达式
替换为
。但是,此表达式在数学中并不常用,因为在大多数情况下,
和
是已知的坐标。写下庞大的
来代替一个简单的斜率表达式是多余的。
截距式如下所示

通过将函数写成截距式,我们可以快速确定
-轴截距。
-轴截距:
-轴截距:
当我们讨论三维空间中的平面时,这种形式将非常有用,可以用来确定
-轴截距。
要绘制二次函数的图像,有一种简单但繁琐的方法,还有一种复杂但巧妙的方法。简单的方法是将自变量
用不同的数字替换,并计算输出
。进行一些替换后,绘制这些
并用曲线连接这些点。复杂的方法是找到特殊点,如截距和顶点,然后绘制出来。以下部分是关于如何找到这些特殊点的指南,这在后面的章节中将很有用。
实际上,还有一种第三种方法,我们将在第1.6章中讨论。
二次函数是看起来像这样的函数
,其中
是常数。
常数
决定了函数的凹凸性:如果
,
向上凹;如果
,
向下凹。
常数
是
轴截距的坐标。换句话说,该函数经过点
。
顶点形式比标准形式有其优势。标准形式可以确定凹凸性和
轴截距,而顶点形式可以,顾名思义,确定函数的顶点。二次函数的顶点是函数图像上的最高点/最低点,取决于凹凸性。如果
,顶点是图像上的最低点;如果
,顶点是图像上的最高点。
顶点形式是这样的
,其中
是常数。
该函数的顶点是
,因为当
时,
。如果
,
是该函数所能达到的绝对最小值。如果
,
是该函数所能达到的绝对最大值。任何标准形式都可以转换为顶点形式。顶点形式带有常数
,看起来像这样
,其中
是标准形式中的常数
因式分解形式可以确定
轴截距,因为因式分解形式看起来像这样
,其中
是常数,并且是方程
的解
因此,可以确定该函数经过点
。
但是,只有某些函数可以写成这种形式。如果二次函数没有
轴截距,则无法用因式分解形式写出来。
示例 1:该函数的顶点是什么?
该方程可以很容易地转换为顶点形式

因此,顶点是
.
例 2: 右边的图像是一个二次函数。描述彩色文本的含义,它们是二次函数的重要属性。

这是二次函数的方程式。在本例中,
,
。由于存在两个
轴截距,我们可以发现
.
点 
这是二次函数
的图像,带有关键值。
这是两个
轴截距的坐标。已知坐标后,该函数可以写成其因式分解形式

如果你在推导二次公式或理解表达式
时遇到困难,请参见 二次函数。
点 
这是二次函数的顶点。因为
,顶点是图中的最低点。由于顶点已知,我们可以将函数写成顶点形式

虽然这看起来不像我们之前讨论过的方程,但请注意
.
直线 
函数图像关于此直线对称。换句话说,
点
和直线
将在下一章 (1.6) 中讨论。它们分别是焦点和准线。
如果你能熟练快速地确定这些特殊点,绘制二次函数图将不那么痛苦。
指数函数和对数函数互为反函数。以指数函数
为例。
的反函数
是


它是一个对数函数。
由于几何上,反函数的图形是将原函数的图形沿直线
翻转,我们只需要知道如何绘制其中一个函数的图形。