微积分/函数作图

← 三角学	微积分	有理函数 →
	函数作图

仅仅根据函数定义来理解函数的行为有时比较困难，可视化表示或图形可以非常有用。图形是笛卡尔平面中的点集，其中每个点 $(x,y)$ 表示 $f(x)=y$ 。换句话说，图形使用一个方向上的点的位置（纵轴或 $y$ 轴）来表示另一个方向上的点的位置（横轴或 $x$ 轴）的 $f$ 值。

可以通过找到不同 $x$ 的 $f$ 值并绘制笛卡尔平面上的点 $(x,f(x))$ 来绘制函数图形。对于您将要处理的函数，点之间的函数部分通常可以通过在点之间绘制直线或曲线来近似。也可以将函数扩展到点集之外，但这会变得越来越不准确。

线性函数

线性函数的作图很容易理解和进行。因为我们知道两点可以构成一条直线，所以如果这两点位于函数上，那么我们只需要两个点就可以绘制线性函数的图形。相反，如果我们只知道两个位于函数上的点，我们就可以写出线性函数的方程。

以下部分主要介绍线性函数符号的不同形式，以便您能够轻松识别或绘制函数图形。

简介

这样绘制点非常费力。幸运的是，许多函数的图形都遵循一般的模式。对于简单的情况，考虑以下形式的函数：

f(x)=3x+2

$f$ 的图形是一条直线，经过点 $(0,2)$ ，斜率为 3。因此，在绘制完点之后，可以使用直尺来绘制图形。这种类型的函数被称为线性函数，有几种不同的方法来表示这种类型的函数。

斜率

斜率是线性函数的基础，因为它表示当输入变化时函数的输出变化多少。例如，如果函数的斜率为 2，则表示当函数的输入增加 1 个单位时，函数的输出增加 2 个单位。现在，让我们来看一个更数学的例子。

考虑以下函数： $f(x)=-5x+8$ 。数字 $-5$ 代表什么？
这意味着当 $x$ 增加 1 时， $f(x)$ 减少 5。
用数学术语来说
$f(x+1)-f(x)=(-5(x+1)+8)-(-5x+8)=-5$

计算斜率很容易，因为斜率就像车辆的速度。如果我们将距离的变化除以相应的时间变化，我们就会得到速度。类似地，如果我们将 $f(x)$ 的变化除以相应 $x$ 的变化，我们就会得到斜率。如果给定两点， $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$ ，我们可以计算通过这两点的直线的斜率。请记住，斜率被确定为“上升量除以前进量”。也就是说，斜率是 $y$ 值的变化除以 $x$ 值的变化。用符号表示

${\text{slope}}~={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

线性函数中的斜率

如果线性函数上的两点为 $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$ ，那么线性函数的斜率为

m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}

有趣的是，斜率与函数图形与正 $x$ 轴之间的角度 $\theta$ 之间存在着微妙的关系。这种关系是

$m=\tan \theta$

这是一个显而易见的关系，但很容易被忽略。

斜截式

当我们看到一个函数表示为

$y=f(x)=mx+b$

我们称这种表示为斜截式。这是因为，不出所料，这种写线性函数的方式包含了斜率， $m$ ，和 $y$ -截距， $b$ 。

示例 1： 画出函数 $f(x)=3x+2$ 的图。

该函数的斜率为 3，它与 $y$ 轴相交于点 $(0,2)$ 。为了画出该函数，我们需要另一个点。由于该函数的斜率为 3，所以

$f(x+1)=f(x)+3$

$f(1)=f(0+1)=f(0)+3=5$

知道该函数经过点 $(0,2){\text{ and }}(1,5)$ ，该函数就可以很容易地画出来。

$\blacksquare$

示例 2： 现在，考虑另一个未知的线性函数，它经过点 $(-3,-4){\text{ and }}(0,5)$ 。该函数的方程是什么？

可以用上面提到的公式计算斜率。

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {5-(-4)}{0-(-3)}}=3$

并且由于 $y$ 轴截距是 $(0,5)$ ，我们可以知道

$b=5$

因此，该线性函数的方程应为

$g(x)=3x+5$

$\blacksquare$

点斜式

如果有人走到你面前，给你一个点和一个斜率，你可以画出一条且只有一条经过该点且具有该斜率的直线。换句话说，一个点和一个斜率唯一地确定一条直线。因此，如果给定一个点 $(x_{0},y_{0})$ 和一个斜率 $m$ ，我们将图表示为

$y-y_{0}=m(x-x_{0})$

我们称这种表示为点斜式。点斜式和斜截式本质上是相同的。在点斜式中，我们可以使用图经过的任何点。而在斜截式中，我们使用 $y$ -截距，即点 $(0,b)$ 。点斜式非常重要。虽然它不像其对应物斜截式那样经常使用，但了解一个点并沿着斜率方向画出直线的概念，在我们未来章节中学习直线和平面的向量方程时将会遇到。

示例 1：如果一个线性函数经过点 $(3,-4){\text{ and }}(1,5)$ ，该函数的方程是什么？

斜率为

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {5-(-4)}{1-3}}=-{\frac {9}{2}}$

由于我们知道两个点，以下答案都是正确的

$y+4=-{\frac {9}{2}}(x-3){\text{ or }}y-5=-{\frac {9}{2}}(x-1)$

$\blacksquare$

两点式是另一种写线性函数方程的形式。它类似于点斜式。给定点 $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$ ，我们有方程

$y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1})$

本演示文稿使用的是两点式。它本质上与点斜式相同，只是我们将表达式 ${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ 替换为 $m$ 。但是，此表达式在数学中并不常用，因为在大多数情况下， $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$ 是已知的坐标。写下庞大的 ${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ 来代替一个简单的斜率表达式是多余的。

截距式

截距式如下所示

${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1$

通过将函数写成截距式，我们可以快速确定 $x,y$ -轴截距。

$x$ -轴截距： $(a,0)$

$y$ -轴截距： $(0,b)$

当我们讨论三维空间中的平面时，这种形式将非常有用，可以用来确定 $x,y,z$ -轴截距。

二次函数

要绘制二次函数的图像，有一种简单但繁琐的方法，还有一种复杂但巧妙的方法。简单的方法是将自变量 $x$ 用不同的数字替换，并计算输出 $f(x)$ 。进行一些替换后，绘制这些 $(x,f(x))$ 并用曲线连接这些点。复杂的方法是找到特殊点，如截距和顶点，然后绘制出来。以下部分是关于如何找到这些特殊点的指南，这在后面的章节中将很有用。

实际上，还有一种第三种方法，我们将在第1.6章中讨论。

标准式

二次函数是看起来像这样的函数

$y=f(x)=ax^{2}+bx+c$ ，其中 $a,b,c$ 是常数。

常数 $a$ 决定了函数的凹凸性：如果 $a>0$ ， $f(x)$ 向上凹；如果 $a<0$ ， $f(x)$ 向下凹。

常数 $c$ 是 $y$ 轴截距的坐标。换句话说，该函数经过点 $(0,c)$ 。

顶点形式

顶点形式比标准形式有其优势。标准形式可以确定凹凸性和 $y$ 轴截距，而顶点形式可以，顾名思义，确定函数的顶点。二次函数的顶点是函数图像上的最高点/最低点，取决于凹凸性。如果 $a>0$ ，顶点是图像上的最低点；如果 $a<0$ ，顶点是图像上的最高点。

顶点形式是这样的

$y=f(x)=a(x-h)^{2}+k$ ，其中 $a,h,k$ 是常数。

该函数的顶点是 $(h,k)$ ，因为当 $x=h$ 时， $f(h)=k$ 。如果 $a>0$ ， $f(h)=k$ 是该函数所能达到的绝对最小值。如果 $a<0$ ， $f(h)=k$ 是该函数所能达到的绝对最大值。任何标准形式都可以转换为顶点形式。顶点形式带有常数 $a,b,c$ ，看起来像这样

$y=f(x)=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+(c-{\frac {b^{2}}{4a}})$ ，其中 $a,b,c$ 是标准形式中的常数

因式分解形式

因式分解形式可以确定 $x$ 轴截距，因为因式分解形式看起来像这样

$y=f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$ ，其中 $x_{1},x_{2}$ 是常数，并且是方程 $a(x-x_{1})(x-x_{2})=0$ 的解

因此，可以确定该函数经过点 $(x_{1},0){\text{ and }}(x_{2},0)$ 。

但是，只有某些函数可以写成这种形式。如果二次函数没有 $x$ 轴截距，则无法用因式分解形式写出来。

示例 1：该函数的顶点是什么？ $f(x)=x^{2}+2x+3$

该方程可以很容易地转换为顶点形式

$x^{2}+2x+3=(x^{2}+2x+1)+2=(x+1)^{2}+2$

因此，顶点是 $(-1,2)$ .

$\blacksquare$

例 2： 右边的图像是一个二次函数。描述彩色文本的含义，它们是二次函数的重要属性。

$y=ax^{2}+bx+c$

这是二次函数的方程式。在本例中， $a>0$ ， $c<0$ 。由于存在两个 $x$ 轴截距，我们可以发现 $\Delta =b^{2}-4ac>0$ .

点 $({\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},0){\text{ and }}({\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},0)$

这是两个 $x$ 轴截距的坐标。已知坐标后，该函数可以写成其因式分解形式
$y=a(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}})(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}})$
如果你在推导二次公式或理解表达式 $\Delta$ 时遇到困难，请参见二次函数。

点 $(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}})$

这是二次函数的顶点。因为 $a>0$ ，顶点是图中的最低点。由于顶点已知，我们可以将函数写成顶点形式
$y=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}$
虽然这看起来不像我们之前讨论过的方程，但请注意 $-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}=+c-{\frac {b^{2}}{4a}}$ .