偶尔,我们会遇到一个极限,其结果为
或
,这些被称为不定型极限。但是,仍然可以使用洛必达法则来解决这些问题。此规则对于解释如何推导出其他极限至关重要。
以下所有表达式都是不定型。

这些表达式被称为不定型,因为在不定型中无法确定其确切值。根据具体情况,每个不定型可以计算出各种不同的值。
如果
是不定型,其类型为
或
,
然后
,其中
。
换句话说,如果函数的极限是不定型的,则该极限等于分子导数除以分母导数。如果这个结果也是不定型的,则可以再次使用洛必达法则,直到极限不再是
或
。
假设对于实函数
和
,
并且
存在。因此
和
在围绕
的区间
内存在,但可能在
本身不存在。因此,对于任何
,在任何区间
或
中,
和
是连续且可微的,除了可能在
本身。定义

请注意,
,
,并且
在任何区间
或
上连续,并在任何区间
或
上可导,当
。
柯西中值定理(参见3.9)告诉我们,对于某个
或
,有
。由于
,我们有
,对于
。
由于
或
,根据夹逼定理

这意味着

因此,当
时,对最后一个等式取极限得到
,这等价于更常用的形式
。
求 
当 x 等于 0 时,结果为
,使用洛必达法则对分子和分母求导,得到

当 x 等于 0 时,结果为 1。需要注意的是,**用洛必达法则证明这个极限在逻辑上是不正确的**,因为证明正弦函数的导数存在需要用到这个极限:这将是一种循环论证。另一种证明这个极限等于 1 的方法是使用夹逼定理。
求 
首先,你需要将函数改写成不确定型的极限分数

现在它是不确定的。对分子和分母求导

再次将 0 代入
得到 1。
求 
这次,将
代入 x 得到
。所以使用洛必达法则得到

因此,
是答案。
求解 
将x的值代入极限得到
(不定式)。
令 
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现在我们对分子和分母分别关于
求导,应用洛必达法则。
![{\displaystyle \ln(k)=\lim _{x\to \infty }{\frac {\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)}{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {{\frac {d}{dx}}\left[\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)\right]}{{\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{x}}\right)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{x+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/973bf7b09797ca31a0696ae39d48fe73325e8686)
因为

我们再次应用洛必达法则

因此

并且

类似地,这个极限也产生相同的结果

这并不能证明
,因为使用相同的方法,

使用洛必达法则计算以下极限
解答