数据科学：入门/像数学家一样思考

数据科学：入门

第 10 章：像数学家一样思考

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  • 如果适用，在上传图表时添加标签 {{Created with R}})。
• 如果使用与 R 标准包不同的包，在每个函数后用括号将包名用粗体表示：<code>MCMCprobit()</code> ('''MCMCpack''')
• 您可以使用第三章 数据定义 作为如何撰写章节的示例。

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章节摘要

当数据科学家以数学家的思维方式思考时，他们会从测量和模型的角度进行思考。任务是将问题分解为其基本组成部分；用数值表示这些组成部分；并将这些组成部分组合成对问题及其解决方案的准确表达。

讨论

根据 维基百科，数学是关于数量、结构、空间和变化的研究。当这些用于解决实际问题时，被称为 应用数学。除了这些主要关注点之外，还有一些主题致力于探索从数学核心到其他领域的联系：逻辑、集合论，以及最近的不确定性研究。为了本书的目的，我们不会探索数学的最后三个方面。

数量

数量的研究从 数字 开始，首先是熟悉的 自然数 和 整数（“整数”）以及它们的基本算术运算，这些运算在 算术 中得到体现。随着数字系统的进一步发展，整数被认为是 有理数（“分数”）的子集。反过来，这些有理数包含在 实数 中，实数用于表示 连续 的量。实数被推广到 复数。

$1,2,3\,...\!$	$...-2,-1,0,1,2\,...\!$	$-2,{\frac {2}{3}},1.21\,\!$	$-e,{\sqrt {2}},3,\pi \,\!$	$2,i,-2+3i,2e^{i{\frac {4\pi }{3}}}\,\!$
自然数	整数	有理数	实数	复数

当以数学家的思维方式思考时，数据科学家需要问自己这样的问题：“我感兴趣的事物将如何用数字表示？”以及“什么样的数字最能代表我感兴趣的事物？”

结构

许多数学对象的集合都表现出内部的 结构。数学通过对对象应用规则（公理和运算）来揭示这些结构。 代数 是理解数学结构的强大工具。它将 变量 的概念与算术相结合来 解方程。代数被应用于许多不同的、表面上看似无关的问题。其中一些问题包括 环、群、图 和 域。

${\begin{matrix}(1,2,3)&(1,3,2)\\(2,1,3)&(2,3,1)\\(3,1,2)&(3,2,1)\end{matrix}}$
集合	环	群	图	域

当以数学家的思维方式思考时，数据科学家需要问自己：“我感兴趣的事物内部结构是什么样的？” 以及“哪组方程可以揭示这种结构？”

空间

空间 的研究起源于 几何学，尤其是 欧几里得几何学。 三角学 是数学的一个分支，它处理三角形边和角之间的关系；它将空间和数字结合在一起，包含著名的 勾股定理。空间的高级研究包括高维几何、 非欧几里得几何学、 微分几何学、 拓扑学、 分形几何学 以及 Wikipedia:测度论。出于本书的目的，我们不会涵盖这些更高级的几何学。

几何学	三角学	微分几何学	拓扑学	分形几何学	测度论

当以数学家的思维方式思考时，数据科学家需要问自己：“我感兴趣的事物是否有空间成分（无论是实际的还是理论上的）？” 以及“我如何捕捉和表示这种空间成分？”

变化

理解和描述变化 是科学中的一个常见主题，而 微积分 作为研究它的有力工具而发展起来。 函数 是描述变化量的一个核心概念。许多问题自然地导致一个量与其变化率之间的关系。也就是说，对于非直线，斜率在线上每个点都不同。理解这些变化的斜率在 微分微积分 中被研究。求曲线下方的面积称为 积分微积分。微积分超出了本书的范围。

(x, f(x)) 处的切线。曲线在一点处的导数 f′(x) 是该点处与该曲线相切的直线的斜率（上升量除以运行量）。

积分可以被认为是测量由 f(x) 定义的曲线在两点（这里为 a 和 b）之间下的面积 S。

以数学家的思维方式思考，数据科学家必须问自己：“我感兴趣的事物之间的关系是否随时间或距离变化？” 以及“我将如何描述这种变化的关系？”

应用数学

应用数学 关注的是 数学方法，这些方法通常用于科学、工程、商业和工业。因此，“应用数学”就是具有专业知识的数学。一般来说，这是数据科学家从事的数学类型。

针对 车辆路线问题 的有效解决方案需要数学工具。

对金融市场的建模是通过数学完成的。

作业/练习

本项目#2涵盖四章。组成3-4人的小组。三人小组的成员可能与项目#1中的小组成员不同。四人小组最多可以有两名学生重复使用项目#1中的小组成员。这个小组将一起完成整个项目。

1. 复制伽利略的“斜面”实验。首先设计研究并写下你的计划。列出需要的材料，指定要使用的方法，确定要测量的变量，创建数据记录表，等等。
2. 根据设计进行实验。拍照。记录你的数据结果。
3. 将数据输入R。使用R生成数据的表格并绘制数据图。看看你是否可以在数据图上绘制伽利略试图发现的理论曲线。
4. 准备一个幻灯片演示，其中包括你所用方法的描述、设备照片、原始数据的表格、分析结果的表格、结果图、该小组在项目过程中自己学到的关于数据科学的几件事的清单。

注意：你的小组可以专注于特定任务，但每个人都需要参与作业的所有阶段。另外，到目前为止涵盖的章节并没有教你完成此作业所需的一切知识。请尽你所能利用你的知识。此作业不仅仅是为了向讲师展示你对前几章内容的学习程度，它本身就是一个学习体验。此作业的目的是让学生发现章节中没有包含的知识。

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