分形/复平面上的迭代/Julia 集

各种类型的动力学需要各种算法

类型

根据以下内容对 Julia 集进行分类

• 拓扑
  • 填充的 Julia 集内部
  • 形状
• 周期点附近的局部动力学
• 连通性
• 参数 c 在参数平面上的位置

填充的 Julia 集可以有

• 非空的内部（Julia 集是连通的）
  • 抛物线：填充的 Julia 集具有抛物线循环（c 在双曲分量的边界上）
  • Siegel：填充的 Julia 集包含 Siegel 圆盘。Julia 集可以局部连通也可以不连通。这取决于旋转数。（c 在双曲分量的边界上）
  • 吸引：填充的 Julia 集具有吸引循环（c 在双曲分量内部）
  • 超吸引：填充的 Julia 集具有超吸引循环（c 在双曲分量的中心）。例子：飞机 Julia 集、Douady 的兔子、Basillica。
• 空内部
  • 不连通（c 在 Mandelbrot 集的外部）
  • 连通
    • 克雷默 Julia 集（c 在双曲分量的边界上，Julia 集是连通的，但不是局部连通的）
    • 树枝状（Julia 集是连通的，并且局部连通的）
      • Misiurewicz Julia 集（c 是 Misiurewicz 点）
      • Feigenbaum Julia 集（）
      • 其他没有

拓扑

根点的 Julia 集在拓扑上与子周期中心的 Julia 集相同，但

• 这 中心（核） Julia 集非常容易绘制（超吸引盆=非常快的动力学，因为临界点也是周期点）
• 而根 Julia 集（抛物线）很难绘制（抛物线盆和懒惰的动力学）

例子

• t = 1/2
  • 根点的 Julia 集 = 胖 Basilica Julia 集：c = -3/4 = - 0.75
  • 周期 2 中心的 Julia 集 = （瘦）Basicica Julia 集：c = -1
• t = 1/3
  • 根点的 Julia 集 = 胖 Douady 的兔子：c = -0.125000000000000 +0.649519052838329i
  • 周期 3 中心的 Julia 集 = （瘦）Doudy 的兔子 Julia 集：c = -0.122561166876654 +0.744861766619744i 周期 = 3

Julia 集模型

兔子 Julia 集的层状结构

• Thurston 的 Julia 集的不变层状结构
• Julia 集的图形
  • Schreier 图
• Julia 集的主干
• 圆盘树模型（Hubbard 树充当后临界有限多项式的 Julia 集的模型）
• Douady 的压缩圆盘模型
• Milnor 的轨道肖像
• 树枝状
  • Julia 集的树枝状模型

Julia 集内部的组成部分

• 
  超吸引
• 
  抛物线
• 
  Siegel 圆盘分量的逆迭代

Douady 的压缩圆盘模型

Dynamic rays and their landing properties are a key tool to understanding (the topology of) Julia sets of polynomials. In particular, the structure of the Julia set is determined by rays that land at a common point: at least in good cases (under the assumption of local connectivity), the knowledge of which rays land together gives a homeomorphic model for the Julia set that is known as Douady’s pinched disk model 

算法

"... 用于计算所有二次 Julia 集的单一算法不存在。"

例子

• rosetta 代码：Julia_set
• 算法

类型

• 逃逸时间（吸引时间到无穷大（所有多项式的吸引子）
• 吸引时间到填充的 Julia 集内部的有限吸引子）
• 对 Julia 集距离的估计（DEM/J）
• 逆迭代法 = IIM/J
• 由 Michael Becker 测试等度连续性
• 轨道陷阱
• 使用数值方法查找周期性排斥点。它们在 Julia 集中是稠密的。（牛顿法 ）

等度连续性

"然后 f 的 Julia 集是 G 中所有点的集合，其中这个迭代函数序列不是等度连续的。Fatou 集是它的补集。简单地说，考察了迭代函数对附近点的作用。在迭代过程中，足够接近的点仍然保持接近的位置属于 Fatou 集。在迭代过程中，无论多么接近的点都会被撕裂的位置属于 Julia 集。在以下内容中，我只考虑将黎曼球面，即加上一个理想点 "无穷大" 的复平面，映射到自身的函数。Julia 集为白色，Fatou 集为黑色。" Michael Becker

精度

• 由 John W. Hoggard 撰写的计算机生成的 Julia 集近似值的精度
• 平面扫描
• 阴影引理
• 数值精度

点

"我们知道周期点在Julia集上稠密，但在奇怪的情况下（比如具有Cremer点的那些，甚至是一些具有Siegel圆盘的那些，其中圆盘本身非常'深'在Julia集中，用外部射线测量），周期点会尽可能地避开Julia集的某些部分。这就是导致渲染Julia集图像的'逆方法'对于这些情况如此糟糕的原因。"（由Jacques Carette在2014年10月26日14:52回答）

复二次多项式的排斥不动点的逆轨道的点分布。

f(z) = z*z-0.75的周期点，周期=6，作为两个隐式曲线的交点

与

• 虚拟数学博物馆：Julia集

特殊情况

• "当d ≥ 2时，Julia集非空，但Fatou集可能是空的（如Latt`es示例所示）。"

名称

• 花椰菜 = c = 1/4 的Julia集（c是主心形线的尖点），抛物线Julia集
  • 内爆花椰菜是对于$c={\frac {1}{4}}+\epsilon$ 的Julia集，其中 $\epsilon >0$，不连通的Julia集
• 飞机 Julia集。C是实轴上周期3分量的中心：c = -1.75487766624669276
• 直升机 z → z^3 − 0.2634 − 1.2594i
• （Douady）兔子。C是复杂二次映射的Mandelbrot集的周期3双曲分量的中心
  • 三次兔子 z → z^3 + 0.545 + 0.539i
• 树枝状结构。C是尖端
• Kokopelli Julia集 $c=\gamma _{M}(3/15)=0.156520166833755+1.032247108922832i$ 角3/15 = p0011 = 0.(0011) 具有前周期 = 0 和周期 = 4。参数平面上的共轭角为4/15 或 p0100。揉捏序列为 AAB*，内部地址为 1-3-4。相应的参数射线落在周期 4 的原始分量的根部。
• 大教堂 = = c = -1 的Julia集（c是周期2分量的中心）

• 
  飞机
• 
  兔子
• 
  树枝状

另请参阅

• 如何在参数平面上移动？
• 如何从参数平面中选择一个点？