2D平面直接链接

几何

欧几里得^[1]
非欧几里得^[2]
- 双曲
- 椭圆

欧几里得几何与非欧几里得几何之间的区别：在三种类型的几何中，具有共同垂直线的直线的行为

图像几何质量

良好（无失真）
不良（失真）

可视化

网格
水平集
- 计算机图形中的斑马条纹
棋盘（棋盘）

视窗（平面的可见部分）

视窗是计算机图形学中的多边形查看区域。^[3]

描述

2D平面的矩形部分可以通过来描述

角点（4个实数或2个复数 = 2D点）
中心和
- 宽度（3个实数）
- 放大倍数
- 半径

"人们以多种方式指定分形坐标。有些人使用可见点左上角和右下角的坐标，将坐标指定为四个数字 x1、y1、x2、y2。要在 XaoS 中设置相同的视点，将中心的实部设置为 (x1+x2)/2，中心的虚部设置为 (y1+y2)/2，半径设置为 x2-x1 和 y2-y1 中较大的一个。"（来自XaoS 文档^[4]）

角点

Fractint、Ultra Fractal、ChaosPro 和 Fractal Explorer 中的标准描述是角点。例如，曼德博集合的初始平面为

 Corners:                X                     Y
 Top-l          -2.5000000000000000    1.5000000000000000
 Bot-r           1.5000000000000000   -1.5000000000000000
 Ctr -0.5000000000000000   0.0000000000000000  Mag 6.66666667e-01
 X-Mag-Factor     1.0000   Rotation    0.000   Skew    0.000

参数平面的显示窗口具有

4 的水平宽度（实部）
3 的垂直宽度（高度）（虚部）
4/3 的纵横比（比例）（同样在像素中为 640/480，因此没有失真）
中心 z=-0.5

参见演示 par 文件

Mandel_Demo        { ; PAR for initialization of Fractint demo
  reset=1900 type=mandel corners=-2.5/1.5/-1.5/1.5 params=0/0 inside=0
  sound=no
  }

对于朱利亚集/动态平面，有

Corners:                X                     Y
Top-l          -2.0000000000000000    1.5000000000000000
Bot-r           2.0000000000000000   -1.5000000000000000
Ctr  0.0000000000000000   0.0000000000000000  Mag 6.66666667e-01
X-Mag-Factor     1.0000   Rotation    0.000   Skew    0.000

Fractint 文档中的描述

CORNERS=[xmin/xmax/ymin/ymax[/x3rd/y3rd]]

示例：corners=-0.739/-0.736/0.288/0.291

以这些坐标作为 x 和 y 坐标的范围开始，而不是默认值（对于 type=mandel） -2.0/2.0/-1.5/1.5。当您指定四个值（通常的情况）时，这定义了一个矩形：x 坐标映射到屏幕，从左到右，从 xmin 到 xmax，y 坐标映射到屏幕，从下到上，从 ymin 到 ymax。六个参数可用于描述任何旋转或拉伸的平行四边形：（xmin，ymax）用于屏幕左上角的坐标，（xmax，ymin）用于右下角的坐标，（x3rd，y3rd）用于左下角的坐标。仅输入“CORNERS=”会告诉 Fractint 使用此形式（默认模式），而不是 CENTER-MAG（见下文）在使用 [B] 命令保存参数时。

int SetPlaneFromCorners(double CxMin , double CxMax, double CyMin , double CyMax){
  
  
  
  Radius = fabs(CyMax-CyMin)/2.0;
  Magnification = 1.0/Radius;
  
  // http://www.purplemath.com/modules/midpoint.htm
  Center = (CxMax+CxMin)/2.0 + I*(CyMax+CyMin)/2.0;
  
    
  return 0; 
 


}

中心和...

 "If you use the center, you can change the zoom level and the plot zooms in/out smoothly on the same center point. " Duncan C).

放大倍数

Fractint 使用 Mag（与 Xmagfactor 相比）

 CENTER-MAG=[Xctr/Yctr/Mag[/Xmagfactor/Rotation/Skew]]

这是一种将角点作为中心点和放大倍数输入的替代方法，在一些分形程序和出版物中很受欢迎。仅输入 "CENTER-MAG=" 会告诉 Fractint 使用此形式，而不是 CORNERS（见上文）在使用 [B] 命令保存参数时。[TAB] 状态显示显示了两种形式的“角点”。当您指定三个值（通常的情况）时，这定义了一个矩形：（Xctr，Yctr）指定图像中心的坐标。

Mag 指示要使用的放大倍数。初始值（无缩放）为 6.66666667e-01。

六个参数可用于描述任何旋转或拉伸的平行四边形：Xmagfactor 指示 x 放大倍数比 y 放大倍数大多少倍，

Rotation 指示图像旋转了多少度。

Skew 指示图像倾斜了多少度。正角度将逆时针旋转和倾斜图像。

参数可以保存到称为 fractint.par 的parmfile 中

宽度

Wolf Jung 在Mandel 中使用中心和宽度

/* 
   from mndlbrot.cpp  by Wolf Jung (C) 201
   These classes are part of Mandel 5.7, which is free software; you can
   redistribute and / or modify them under the terms of the GNU General
   Public License as published by the Free Software Foundation; either
   version 3, or (at your option) any later version. In short: there is
   no warranty of any kind; you must redistribute the source code as well
*/
void mndlbrot::startPlane(int sg, double &xmid, double &rewidth) const
{  if (sg > 0) 
     { xmid = -0.5; rewidth = 1.6; } // parameter plane
     else { xmid = 0; rewidth = 2.0; } // dynamic plane

宽度和高度

用于描述平面（视图）XaoS 使用

脚本中的 4 个数字
菜单中的 3 个数字

XaoS 使用“半径”来称呼它，但它是这样定义的： (x2-x1 = 宽度) 和 y2-y1 = 高度中较大的那个。

半径

这对于缩放非常有用：固定中心，只改变半径。

Claude Heiland-Allen^[5] 使用中心和半径来表示复二次多项式的参数平面

半径定义为

适合图像实际框架内的圆的半径
"中心和轴对齐的视图矩形顶部之间的虚坐标差”。
"px_radius 是图像宽度的一半（以实坐标表示）" ^[6]

view="-0.75 0 1.5" # standard view of parameter plane : center_re, center_im, radius

$radius={\frac {1}{Mag}}={\frac {height}{2}}$

  // modified code using center and radius to scan the plane 
  int height = 720;
  int width = 1280;
  double dWidth;
  double dRadius = 1.5;
  double complex center= -0.75*I;
  double complex c;
  int i,j;

  double width2; // = width/2.0
  double height2; // = height/2.0
  
  width2 = width /2.0;
  height2 = height/2.0;

complex double coordinate(int i, int j, int width, int height, complex double center, double radius) {
  double x = (i - width /2.0) / (height/2.0);
  double y = (j - height/2.0) / (height/2.0);
  complex double c = center + radius * (x - I * y);
  return c;
}

for ( j = 0; j < height; ++j) {
    for ( i = 0; i < width; ++i) {
      c = coordinate(i, j, width, height, center, dRadius);
      // do smth 
       }
     }

另一个版本

int main()
{
  int aa = 4;
  int w = 800 * aa;
  int h = 800 * aa;
  
  #pragma omp parallel for schedule(static, 1)
  for (int j = 0; j < h; ++j)
  {
    double y = (h/2 - (j + 0.5)) / (h/2) * r;
    for (int i = 0; i < w; ++i)
    {
      double x = (i + 0.5 - w/2) / (h/2) * r;
      double _Complex c = x + I * y;
      // proceed
    }
  }
  
  return 0;
}

同样在 GLSL ( 为 Shadertoy) 中

 
vec2 GiveCoordinate(vec2 center, float radius, vec2 fragCoord, vec3 iResolution)
{
 
  // from pixel to world coordinate   
  // now point (0,0) is left bottom
  // point (iResolution.x, iResolution.y) is right top   
  float x = (fragCoord.x -  iResolution.x/2.0)/ (iResolution.y/2.0);
  float y = (fragCoord.y -  iResolution.y/2.0)/ (iResolution.y/2.0);
  vec2 c = vec2(center.x + radius*x, center.y + radius*y) ;  
  return c ; 
}

根据半径、中心和纵横比设置平面角

 
int SetPlane(complex double center, double radius, double a_ratio){

	ZxMin = creal(center) - radius*a_ratio;	
	ZxMax = creal(center) + radius*a_ratio;	//0.75;
	ZyMin = cimag(center) - radius;	// inv
	ZyMax = cimag(center) + radius;	//0.7;
    double PixelWidth = (ZxMax-ZxMin)/iWidth;
    double PixelHeight = (ZyMax-ZyMin)/iHeight; // pixel_size = PixelWidth = PixelHeight
	return 0;

}

方向

在标准的数学约定和一些 CS 图形编程系统之间存在主要的不兼容性

数学课中教授的标准数学约定 = 标准坐标系 (y 轴向上)
一些 CS 图形编程系统 (但并非所有系统) = y 轴向下

通过标记笛卡尔平面的一象限来检查**平面的方向**

if (x>0 && y>0) Color=MaxColor-Color;

它应该位于右上角。

OpenGL is right handed in object space and world space. But in window space (aka screen space) we are suddenly left handed.^[7]

另见

math.stackexchange 问题：proper-name-for-inverted-cartesian-coordinate-system

纵横比

图片
显示

图片

图片的纵横比是其宽度与其高度的比率，用冒号分隔的两个数字表示，例如 16:9，十六比九。对于 x:y 纵横比，图片的宽度为 x 个单位，高度为 y 个单位。常见的纵横比包括电影中的 1.85:1 和 2.39:1，电视摄影中的 4:3 和 16:9，以及静止摄影中的 3:2。

显示纵横比

纵横比，更确切地说，**显示纵横比 (DAR)**^[8] - 图片显示时的纵横比。对于电视

对于电视，DAR 传统上是 4:3 (即全屏)
现在是 16:9 (即宽屏)，现在是高清电视的标准。

优化

“递归算法将图像分割成块，并测试每个块是否位于“黑色区域”中。”，由 Michael Hogg 提出^[9]
用于缩放动画的庞加莱上半平面度量
陈维尹、杨佑升和梁昆茂提出的分形动画的简单优化
Claude Heiland-Allen 对缩放动画的优化^[10]
reenigne 博客：递归细分
Xaos - 算法描述
新的快速方法！
Albert Lobo Cusidó 的缩放
渲染曼德勃罗集 - 通过 JavaScript 实现示例，作者：Christian Stigen Larsen
扰动

模式

Keenan Crane 提出的“表面上的条纹模式”

参考文献

[1] 维基百科上的欧几里得空间

[2] 非欧几里得几何，作者：Malin Christersson (2018)

[3] 维基百科上的视窗

[4] Xaos - 视图

[5] Claude Heiland-Allen 的博客

[6] 指数映射，作者：Robert P. Munafo，2010 年 12 月 5 日。来自曼德勃罗集词汇表和百科全书，作者：Robert Munafo，版权所有 © 1987-2020。

[7] stackoverflow 问题：is-opengl-coordinate-system-left-handed-or-right-handed

[8] 维基百科：纵横比 (图像)

[9] ：fractalnet

[10] Claude Heiland-Allen 对缩放动画的优化

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]