几何/群

几何群论

现代几何用群论表达。以下表达了群在几何中的作用，由w:Felix Klein给出

任何图形的几何性质必须用公式表达，这些公式在改变坐标系时不会改变，也就是说，当我们将图形的所有点同时进行我们的变换之一时，反之亦然，任何在这种意义上对这些变换群不变的公式必须代表一个几何性质。作为最简单的例子，你们都知道，让我提醒你们两点或两条线的距离或角度的表达式。

这种对几何的代数态度被称为埃尔朗根纲领。

正式陈述

设X为点的集合，S为X的子集的集合。例如，S中的s可以表示一条线或一个圆，或者X的其他特征。考虑A关于X和S的一组公理。最后，设P是一个命题，表达了S的元素的特征。

假设b是X到自身的双射。命题Pb是从P得到的，通过将P中对S的元素的所有提及替换成它们在b下的像。现在考虑所有满足命题P所代表的性质的双射的集合：$G=\{b:P\equiv Pb\}.$

如果c在G中，那么$P\equiv Pb\equiv Pc\implies P\equiv Pbc,$所以bc在G中。b的逆元也在G中，所以G是一个群。

定义：几何 $G=(X,\ S,\ A,\ P)$是由性质P决定的变换群。

首先考虑平面X = R²，其中性质P由两点之间的距离给出

$d((w,x),(y,z))={\sqrt {(w-y)^{2}+(x-z)^{2}}}.$距离在旋转、平移或直线反射下不变。因此，G是由这些变换生成的群：平面的欧几里得群。

在空间X = R³中，一对点之间的距离表示P，并生成相应的欧几里得空间群。考虑由绕轴旋转和平行于该轴的平移给出的螺旋位移。根据运动学定理（归因于莫齐和查尔斯），欧几里得空间群中的任何运动都可以表示为螺旋位移。

仿射几何

回到平面X = R²，设P为平行线的性质。因此，当两条平行线被b带到另一对平行线时，b就在G中。那么G就是仿射群，它包含欧几里得群，但也包括将正方形变换成与正方形面积相同的矩形的挤压映射。这个群在平坦空间宇宙学中找到了应用，其中光线通过时空跟踪直线。事实上，仿射群中的挤压映射对应于从由一个速度决定的参考系跃迁到另一个速度决定的参考系。

从几何的转换，从点、线和其他几何空间特征的配置性质到群论，是由费利克斯·克莱因完成的。亚瑟·凯莱的“关于距离理论” (1859)使他走上了这条转换之路，该论文通过使用交叉比的对数，从实射影平面获得了被称为椭圆平面的度量空间。克莱因继续发展这个想法，展示了双曲平面的模型，并且他将非欧几里得几何确立为数学的一个有充分根据的分支。他通过群论阐明了一种几何哲学，其中当性质P意味着Q时，G_P包含在G_Q中，就像欧几里得和仿射几何的情况一样。

单位圆盘的内部$D=\{z:|z|<1\}$在一个模型中代表双曲平面。任何在边界上与D正交相交的圆都代表这个双曲平面中的一条线。显然，对于D中但不在给定直线上的点，有很多经过该点但不与D中的给定直线相交的直线。这个模型，以及它用保持D稳定的梅比乌斯变换来表达运动，证明了之前由鲍耶和罗巴切夫斯基描述的理论双曲平面的自洽性。因此，几何学扩展到了欧几里得之外，进入了非欧几里得，经典领域变成了群论的一个分支。

在 1872 年的德国埃尔朗根，费利克斯·克莱因首次阐明了他的群哲学几何学。从那时起，随后的运动就被称为w:埃尔朗根纲领。

共形几何

共形变换是保持角度的变换：两条相交直线之间的角度在变换之前和之后是相同的。然后，逆变换也保持角度。共形变换的集合，通过将一个变换接一个地组合起来，在组合下形成一个群，其中恒等映射作为群恒等元。

平面的平移显然是共形的，因此注意力集中在保持一个点不变的变换上。这个点被作为坐标平面$\{(x,\ y):x,y\in \mathbb {R} \}.$的原点 (0,0)。

共形几何 (X, S, A, P) 对应于 X 作为坐标平面，S 作为平面中直线之间的角度集合，以及 P 作为变换前后角度测量的相等要求。角度公理 A 可以指圆角、双曲角或斜率。在斜率的情况下，共形几何由剪切映射群给出。在双曲角的情况下，共形几何由挤压映射群给出。自然地，当公理指定圆角时，旋转群就是共形群。

理想情况下，所有公理 A 都可以收集在一起。事实上，当角度通过面积定义时，性质 P 可以指定为保持面积。各种角度的各种公理指的是与统一角度理论中角度相关的扇形的边界弧。

线性代数为群论中的这个主题提供了自然的背景。变换用矩阵表示。每个矩阵都有一个称为行列式的数字，当这个数字为 1 或 -1 时，该矩阵表示一个保持面积的变换。