高中数学扩展

二叉树期权定价

简介

我们都至少听说过一家证券交易所。纳斯达克、道琼斯、富时和恒生。鲜为人知，但对许多人来说更有用的是期货交易所。证券交易所允许股票经纪人（也称为投资顾问）交易公司股票，而期货交易所则允许交易更奇特的衍生品。例如，金融期权，这也是本章的重点。

期权是一种合约，赋予持有人在未来某个时间以某个价格购买（或出售）某种商品的选择权。期权有什么用？最初，它们被用来规避风险。但它们也被用来利用可预见的机遇，就像泰勒斯所做的那样¹。

泰勒斯，伟大的希腊哲学家，被认为是西方世界首次使用期权的人。一个流行的轶事表明，在某一特定年份的冬季，他预测来年将会有丰收的橄榄。他几乎没有钱，所以他购买了在他所在地区的橄榄榨油机使用权的选择权。自然而然，当收割的时节到来时，每个人都想使用他获得使用权的榨油机！不用说，他从中赚了很多钱。

基础

期权是一种选择权合约。您可以选择是否执行期权。

如果您拥有一份期权，它声明

您可以在明天从 A 店购买 1 公斤糖，价格为 2 美元

假设明天糖的市场价格为 3 美元，您会想执行期权，即以 2 美元的价格购买糖。然后，您可以在市场上以 3 美元的价格出售它，在此过程中赚取 1 美元。但如果 1 公斤糖的市场价格为 1 美元，那么您就会选择不执行期权，因为市场上的价格更便宜。

让我们更正式地定义期权。特别地，期权有两种类型

看涨期权

看涨期权是一种合约，赋予持有人选择在“到期日”以“执行价格”购买“标的股票”的权利。

看跌期权

看跌期权是一种合约，赋予持有人选择在“到期日”以“执行价格”出售“标的股票”的权利。

在上面的例子中，“标的股票”是糖，“执行价格”是 2 美元，“到期日”是明天。

我们将期权表示如下

{C 或 P，$金额，# 到期时间段}

. 例如

{C,$3,1}

代表一个看涨期权，其执行价格为某个未指定的标的股票，将在一个时间单位的时间内到期。这里的时间单位可以是一年、一个月、一天或一小时。重要的是，我们将在后面介绍的数学方法实际上不依赖于这个时间单位是什么。此外，我们也不必指定标的股票。另一个例子

{P,$100,2}

代表一个看跌期权，其执行价格为 100 美元，用于某个未指定的标的股票，将在2个时间单位内到期。

现在我们对期权有了基本的概念，我们可以开始想象一个交易期权的市场。我们假设这样的市场存在。我们还假设参与交易没有任何费用。这样的市场被称为无摩擦市场。当然，我们还假设存在一个交易标的股票的市场。

信息 -- 美式或欧式

实际上，期权主要有两种类型：美式或欧式。欧式期权只允许您在“到期日”执行期权；而美式期权则允许您在“到期日”之前的任何时间执行期权。在本章中，我们只讨论欧式期权。

套利

另一个非常重要的概念是套利。简而言之，套利是一种从无到有赚钱的方式。我们假设在这个世界上没有免费午餐，换句话说，我们的市场是无套利市场。我们将在本章后面展示一个如何进行套利的例子。

本章的核心内容是用来对期权进行定价的技术。简单来说，我们有一个期权，它应该值多少钱？从这个角度来看，我们将看到无套利要求是一个非常强的条件，因为它基本上决定了期权的价格应该是什么。

期权到期时的价值

期权定价是指它现在值多少钱。当然，期权的现值取决于它未来的可能价值。因此，了解期权到期时的价值至关重要，因为那时需要选择是否执行期权。例如，考虑以下期权

{C,$2,1}

这是一个看涨（买入）期权，将在一个星期的时间内（或一天、一年或任何规定的时间段内）到期。如果标的股票的市场价格在到期时为 3 美元，那么期权应该值多少钱？如果市场价格为 1 美元呢？

有道理地说，如果市场价格（标的股票的）为 3 美元，那么期权的价值为 1 美元，而如果市场价格为 1 美元，那么期权就应该毫无价值（0 美元）。

为什么我们说以上述价格对期权进行定价是合理的？因为我们假设市场是无套利市场。此外，在一个市场中，我们假设

存在一家银行愿意借钱给你
如果你在借款当天偿还银行，将不会收取任何费用。

基于这些假设，我们可以证明，如果你以任何不同的价格出售期权，那么有人可以在不使用任何自己资金的情况下赚钱。例如，假设到期时，标的股票的市场价格为 3 美元，而你决定以 0.7 美元的价格出售期权（而不是合理的 1 美元）。一个聪明的买家会做以下操作

操作	资金	余额
借入 2.7 美元	+$2.7	$2.7
以 0.7 美元的价格购买你的期权	-$0.7	$2
以期权购买价值 2 美元的糖	-$2	$0
在市场上以 3 美元的价格出售 1 公斤糖	+$3	$3
偿还银行 2.7 美元	-$2.7	$0.3

他/她赚取了 0.3 美元，并且在任何时候都没有使用自己的资金（即余额从未低于零）！这是个“免费午餐”，与无套利市场的假设相矛盾！

练习

1. 在一个*无套利*市场中，考虑一个期权 T = {C, $100, 1}。

i) 如果标的股票的价格为 90 美元，期权到期时应是多少？

ii) 如果标的股票到期时价格为 110 美元呢？

iii) 100 美元呢？

2. 考虑一个期权 T = {C, $10, 1}。

i) 到期时，如果标的股票价格为 12 美元，而期权以 2 美元的价格出售，你会考虑购买它吗？

ii) 如果标的股票价格为 13 美元呢？

3. 考虑*看跌*期权 T = {P, $2, 1}。到期时，标的股票价格为 1 美元。珍妮拥有 T，她决定采取以下行动

借入 1 美元

以 1 美元的价格从市场上购买标的股票

执行期权，即以 2 美元的价格出售股票

偿还 1 美元

她做得对吗？

4. 在一个*无套利*市场中，考虑*看跌*期权 T = {P, $2, 1}。

i) 到期时，如果标的股票价格为 1 美元，期权应值多少？

ii) 3 美元呢？

5. 考虑*看跌*期权 T = {P, $2, 1}。到期时，标的股票价格为 1 美元。期权 T 以 0.5 美元的价格出售。珍妮立刻发现了一个套利机会。详细说明她应该采取的行动来利用套利机会。（提示：模仿操作、资金、余额表）

期权定价

考虑这种情况，一家公司 MassiveSoft 正在与另一家公司 Pears 谈判合并。MassiveSoft 的股价目前为 7 美元。如果谈判成功，股价将上涨至 11 美元；否则，它将跌至 5 美元。专家预测成功的概率为 90%。考虑一个看涨期权，它允许你在谈判完成时以 8 美元的价格购买 1000 股 MassiveSoft。期权应该值多少？

由于市场是无套利的，因此期权到期的价值已经确定。当然

如果谈判成功，期权价值为（11 - 8）× 1000 = 3000 美元

否则，期权应无价值（0 美元）

以上是期权到期时的唯一*正确*价值，否则人们会“欺骗你”。

设*x*为期权目前的价值，我们可以使用以下图表来说明情况，

	$\nearrow$	$\$3000\!$
$\$x\!$
	$\searrow$	$\$0\!$

该图显示期权的当前价格应为*x*美元，如果谈判成功，它将价值 3000 美元，否则将无价值。类似地，以下图表显示了公司股票现在和未来的价值

	$\nearrow$	$\$11\!$
$\$7\!$
	$\searrow$	$\$5\!$

你可能已经注意到我们没有写下成功或失败的概率。有趣的是（反直觉的是），它们并不重要！再次，无套利原则决定了我们上面两个图中显示的内容足以让我们对期权进行定价！

怎么做？

什么是期权？它是让你选择购买... 等等，等等，等等。从另一个角度考虑它

它是一个可交易的物品，如果谈判成功，它价值 3000 美元；否则，它价值 0 美元

这是期权定价背后的主要理念。期权的价格必须与另一个*物品*的价格相同，该物品根据谈判的成功与否，价格会上涨到 3000 美元或下降到 0 美元。希望这个物品是已知价格的。这个理念被称为构建*复制组合*。

*组合*是由可交易的*东西*组成的集合。我们希望构建一个行为与期权相同的组合。事实证明，我们只使用两种东西就可以构建一个与期权行为相同的组合。它们是

MassiveSoft 股票
以及*资金*

假设*资金*是*可交易的*，因为你可以用一美元购买一美元。这个概念乍看起来可能很不直观。但让我们继续进行数学运算，假设这个组合包含*y*单位的 MassiveSoft 股票和*z*单位的资金。如果谈判成功，那么每股将价值 11 美元，整个组合应价值 3000 美元，因为它与期权的行为相同，因此我们有以下等式