高中数学扩展/逻辑/解答

高中数学扩展

补充章节 — 素数和模算术 — 逻辑

逻辑

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1. 与非门：x 与非门 y = 非 (x 与门 y)

2. 或非门：x 或门 y = 非 (x 或门 y)

3. 异或门：x 异或门 y 为真当且仅当 x 或 y 为真。

为以下式子制作真值表：1. xyz

2. x'y'z'

3. xyz + xy'z

4. xz

5. (x + y)'

6. x'y'

7. (xy)'

8. x' + y'

1.

1. z = ab'c' + ab'c + abc

{\begin{matrix}x&=&ab'c'+ab'c+abc\\&=&ab'c'+c(ab'+ab)\\&=&ab'c'+ca\end{matrix}}

2. z = ab(c + d)

{\begin{matrix}x&=&ab(c+d)\\&=&abc+abd\\\end{matrix}}

3. z = (a + b)(c + d + f)

{\begin{matrix}x&=&(a+b)(c+d+f)\\&=&ac+ad+af+bc+bd+bf\\\end{matrix}}

4. z = a'c(a'bd)' + a'bc'd' + ab'c

{\begin{matrix}x&=&a'c(a'bd)'+a'bc'd'+ab'c\\&=&a'c(a+(bd)')+a'bc'd'+ab'c\\&=&a'ca+a'c(bd)'+a'bc'd'+ab'c\\&=&a'c(b'+d')+a'bc'd'+ab'c\\&=&a'cb'+a'cd'+a'bc'd'+ab'c\\\end{matrix}}

5. z = (a' + b)(a + b + d)d'

{\begin{matrix}x&=&(a'+b)(a+b+d)d'\\&=&(a'+b)(a+b+d)d'\\&=&(a'a+a'b+a'd+ba+bb+bd)d'\\&=&(a'b+a'd+ba+b+bd)d'\\&=&(b(a'+a)+a'd+b+bd)d'\\&=&(a'd+b+bd)d'\\&=&a'dd'+bd'+bdd'\\&=&bd'\\\end{matrix}}

2. 证明 x + yz 等价于 (x + y)(x + z)

{\begin{matrix}x&=&(x+y)(x+z)\\&=&xx+yx+xz+yz\\&=&x(x+y+z)+yz\\&=&x+yz\\\end{matrix}}

判断以下命题是真还是假
1. 如果 1 + 2 = 3，那么 2 + 2 = 5 是假的，因为真命题不能蕴含假命题。
2. 如果 1 + 1 = 3，那么鱼不会游泳是真的，因为 1+1 不等于 3。
证明以下命题对等价
1. $x\Rightarrow y$ : $y'\Rightarrow x'$

我们用真值表来证明这一点。

表中两命题的列相同，因此它们是等价的。

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