高中数学扩展/习题解答

高中数学扩展

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补充章节 — 质数和模运算 — 逻辑

数学证明 — 集合论和无限过程 — 计数与生成函数 — 离散概率

矩阵 — 进一步的模运算 — 数学规划 — 马尔科夫链

质数和模运算

因式分解练习

对以下数字进行因式分解。(注意: 我知道你不必这样做，但这只是为了那些好奇的人)

1. $13=13\cdot 1$
2. $26=13\cdot 2$
3. $59=59\cdot 1$
4. $82=41\cdot 2$
5. $101=101\cdot 1$
6. $121=11\cdot 11$
7. $2187=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

递归因式分解练习

使用递归因式分解。

1. $45=3\cdot 3\cdot 5$
2. $4050=2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 5\cdot 5$
3. $2187=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

素数筛练习

1. 利用上面的结果，快速算出下面表格中还需要被划掉的数字，已知下一个素数是5。

${\begin{matrix}X&2_{p}&3_{p}&X&5&X&7&X&X&X\\11&X&13&X&X&X&17&X&19&X\\X&X&23&X&25&X&X&X&29&X\\31&X&X&X&35&X&37&X&X&X\\41&X&43&X&X&X&47&X&49&X\\\end{matrix}}$

下一个素数是5。因为5是一个未标记的素数，并且5 * 5 = 25，所以划掉25。同样，7是一个未标记的素数，并且5 * 7 = 35，所以划掉35。但是，5 * 11 = 55，这太大了，所以标记5为素数，然后继续到7。唯一可以划掉的数字是7 * 7，它等于35。你不能再往上了。

2. 找出所有小于200的素数。

这里不会详细说明该方法，因为它太长了。但是，所有小于200的素数是

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199

模运算练习

1. $(-1)\cdot (-5)\mod {11}=5$
2. $3\cdot 7\mod {11}=21=10$
3. $2^{1}=2,2^{2}=4,2^{3}=8,2^{4}=16=5$
   $2^{5}=32=10,2^{6}=64=9,2^{7}=128=7$
   $2^{8}=256=3,2^{9}=512=6,2^{10}=1024=1$
   一个更简单的列表: 2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6, 1