高中数学扩展/补充/基本计数/解答

高中数学扩展

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补充章节 — 素数和模运算 — 逻辑

数学证明 — 集合论和无限过程 — 计数和生成函数 — 离散概率

矩阵 — 进一步的模运算 — 数学规划 — 马尔可夫链

练习解答

练习 1

如果所有字母都不相同，将有4！种方式。由于"O"重复了两次（2！排列），因此每个不同的排列都被计算了2！次；因此有

$4!/2!=12$

种方式。

练习 2

一副牌中有十三张方块牌；因此，有

${13 \choose 5}={\frac {13!}{8!\times 5!}}={\frac {13\times 12\times 11\times 10\times 9}{120}}=1287$

种方式。

练习 3

由于生菜总是放在最上面，我们只需要考虑火腿 - 奶酪 - 番茄 - 萨拉米的所有可能排列，使得火腿绝不与萨拉米相邻。我们计算四个元素的排列数，

$4!=24$

然后减去火腿和萨拉米在一起的排列。也就是说，（火腿 & 萨拉米） - 奶酪 - 番茄和（萨拉米 & 火腿） - 奶酪 - 番茄的排列

$2\times 3!=2\times 6=12$

Joey 可以将配料排列在

$24-12=12$

不同的方式。

练习 4

我们计算从十种口味中选择三种口味的方法数量，并减去选择一种口味（巧克力和香草）的方法数量，即从剩下的八种口味中选择一种口味的方法数量

${10 \choose 3}-{8 \choose 1}={\frac {10!}{7!\times 3!}}-{\frac {8!}{7!\times 1!}}=120-8=112$

瑞秋可以点112种不同的冰淇淋杯。

练习 5

我们计算从五种可用配料中选择一种、两种、三种、四种和五种配料的组合数量。 也就是说，五个5 选 k项的总和，其中k等于1、2、3、4、5

${5 \choose 1}+{5 \choose 2}+{5 \choose 3}+{5 \choose 4}+{5 \choose 5}$

然后，我们从每一项中减去火腿、萨拉米和k - 2种配料的组合数量，这些配料是从剩下的 3 种配料中选择的（请注意，5 选 1不需要任何扣除）

• ${5 \choose 1}-0=5-0=5$
• ${5 \choose 2}-{3 \choose 0}=10-1=9$
• ${5 \choose 3}-{3 \choose 1}=10-3=7$
• ${5 \choose 4}-{3 \choose 2}=5-3=2$
• ${5 \choose 5}-{3 \choose 3}=1-1=0$

Joey 可以制作

$5+9+7+2+0=23$

不同的三明治。