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稳定性LMI

如果系统的所有不稳定模式都是可控的，则该系统是可稳定化的。这意味着如果系统是可控的，它也将是可稳定化的。因此，可稳定性本质上是可控性条件的较弱版本。对 $(A,B)$ 对的可稳定性LMI条件如下所示。

系统

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t),\\x(0)&=x_{0},\end{aligned}}$

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$，$u(t)\in \mathbb {R} ^{m}$，在任何 $t\in \mathbb {R}$。

数据

这个LMI所必需的矩阵是 $A$ 和 $B$。对A的稳定性没有限制。

LMI: 稳定性LMI

$(A,B)$ 是可稳定化的，当且仅当存在 $X>0$ 使得

$AX+XA^{T}+BB^{T}<<0$,

其中稳定控制器由下式给出

$u(t)=-{\frac {1}{2}}B^{T}X^{-1}x(t)$.

结论

如果我们能够找到一个 $X>0$ 使得上述 LMI 成立，这意味着矩阵对 $(A,B)$ 是可镇定的。换句话说，系统对 $(A,B)$ 是可镇定的，如果对于任何初始状态 $x(0)=x_{0}$，都可以找到一个适当的输入 $u(t)$，使得状态 $x(t)$ 渐近地趋近于原点。可镇定性是一个比可控性更弱的条件，因为我们只需要趋近 $x(t)=0$ 随着 $t\rightarrow \infty$，而可控性要求状态必须在有限时间内到达原点。

实现

此实现需要 Yalmip 和 Sedumi。

https://github.com/eoskowro/LMI/blob/master/Stabilizability_LMI.m

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外部链接

一个记录和验证 LMI 的参考资料列表。

• 最优和鲁棒控制中的 LMI 方法 - 马修·皮特教授的控制中的 LMI 课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 特性及其应用 - 瑞安·卡弗利和詹姆斯·福布斯的 LMI 列表。
• 系统和控制理论中的 LMI - 斯蒂芬·博伊德教授的 LMI 下载书籍。
• 控制系统中的 LMI：分析、设计和应用 - 由段广仁和于海华撰写，CRC 出版社，泰勒和弗朗西斯集团，2013 年，第 6.1.1 节和第 6.1 表，第 166-170 页和第 192 页。
• 鲁棒控制理论课程：凸方法 - 由盖尔·E·杜勒鲁德和费尔南多·G·帕加尼尼撰写，施普林格出版社，2011 年，第 2.2.3 节，第 71-73 页。