首先（标题中已经暗示了，而且是显而易见的）， A {\displaystyle \mathbf {A} } 必须是对角化的。其次，求出 A {\displaystyle \mathbf {A} } 的特征值和特征向量，并形成矩阵 T {\displaystyle \mathbf {T} } ，它是一个特征向量的增广矩阵，以及 D {\displaystyle \mathbf {D} } ，它是一个矩阵，包含在主对角线上的对应特征值，与对应特征向量位于同一列。然后，我们的中心问题是
X ′ = A X + G ( t ) {\displaystyle \mathbf {X} '=\mathbf {AX} +\mathbf {G} (t)}
我们代入
T Y ′ = A T Y + G ( t ) {\displaystyle \mathbf {TY} '=\mathbf {ATY} +\mathbf {G} (t)}
然后左乘以 T − 1 {\displaystyle \mathbf {T} ^{-1}}
Y ′ = T − 1 A T Y + T − 1 G ( t ) {\displaystyle \mathbf {Y} '=\mathbf {T} ^{-1}\mathbf {ATY} +\mathbf {T} ^{-1}\mathbf {G} (t)}
根据线性代数，我们得到以下恒等式
D = T − 1 A T {\displaystyle \mathbf {D} =\mathbf {T} ^{-1}\mathbf {AT} }
因此
Y ′ = D Y + T − 1 G ( t ) {\displaystyle \mathbf {Y} '=\mathbf {DY} +\mathbf {T} ^{-1}\mathbf {G} (t)}
由于对角矩阵的性质，问题变成了多个一维常微分方程组，可以求解 Y {\displaystyle \mathbf {Y} } ，并用它找出 X {\displaystyle \mathbf {X} } 。
必须是对角化的。其次，求出 的特征值和特征向量，并形成矩阵 
，它是一个特征向量的增广矩阵，以及 
，它是一个矩阵，包含在主对角线上的对应特征值，与对应特征向量位于同一列。然后，我们的中心问题是
，并用它找出 
。
