当特征值变为复数时，从数学角度来说，并没有什么问题。但是，在某些物理应用中（如无阻尼振荡），理解虚数解的意义存在问题。因此，人们努力尝试“数学隐藏”复数变量，以获得物理学家和工程师更容易理解的答案。本质上，我们有一个部分看起来像这样的解决方案
( α + β ⋅ i ) ⋅ e r + i λ 1 ⋅ t {\displaystyle (\alpha +\beta \cdot i)\cdot e^{r+i\lambda _{1}\cdot t}}
但根据欧拉公式
( α + β ⋅ i ) ⋅ e r ( c o s ( λ 1 ⋅ t ) + i ⋅ s i n ( λ 1 ⋅ t ) ) {\displaystyle (\alpha +\beta \cdot i)\cdot e^{r}(cos(\lambda _{1}\cdot t)+i\cdot sin(\lambda _{1}\cdot t))}
现在我们展开这些项
e r ( α ⋅ c o s ( λ 1 ⋅ t ) − β ⋅ s i n ( λ 1 ⋅ t ) ) + i ⋅ e r ( β ⋅ c o s ( λ 1 ⋅ t ) + α ⋅ s i n ( λ 1 ⋅ t ) ) {\displaystyle e^{r}(\alpha \cdot cos(\lambda _{1}\cdot t)-\beta \cdot sin(\lambda _{1}\cdot t))+i\cdot e^{r}(\beta \cdot cos(\lambda _{1}\cdot t)+\alpha \cdot sin(\lambda _{1}\cdot t))}
由于这是一个两项的线性组合， i {\displaystyle i} 是一个常数（复数，但仍然是常数），每一部分都是解集中的一个元素，并且可以从中构造一般解。
是一个常数（复数，但仍然是常数），每一部分都是解集中的一个元素，并且可以从中构造一般解。
