线性代数与微分方程/齐次线性微分方程/重复特征值方法

当特征值重复时，我们遇到了类似于普通微分方程中根重复的情况，我们得到相同的解重复，这不是线性无关的，这表明存在不同的解。 由于这种情况与普通微分方程非常相似，让我们尝试 $\mathbf {X} =\mathbf {u} te^{\mathbf {\lambda } t}$ 对于 $\mathbf {X} '=\mathbf {A} \mathbf {X}$，我们看到这不起作用；但是， $\mathbf {X} =(\mathbf {B} t+\mathbf {C} )e^{\mathbf {\lambda } t}$ 确实有效（对于细心的读者，这暗示了不定系数法与没有线性代数的微分方程相比的变化）。

事实上，如果我们使用这个，我们看到 $\mathbf {B} =\mathbf {u}$，其中 $\mathbf {u}$ 是一个典型的特征向量；并且我们看到 $\mathbf {C} =\mathbf {n}$，其中 $\mathbf {n}$ 是由 $(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )\mathbf {C} =\mathbf {B}$ 定义的正常特征向量。

因此，我们的基本解集是： $\{\mathbf {u} te^{\lambda t}+\mathbf {n} e^{\lambda t};\mathbf {u} e^{\lambda t}\}$

使用相同的方法，可以类似地求解高阶问题。