介绍

翻译

我们称以下形式的表达式

X' = A ⋅ X + G(t)

如果 G(t)≡0，则为齐次。现在，在之前的微分方程方法中，结果表明X的表达式中包含超越数e的指数，因此，如果我们开发一个唯一性定理，我们可以用这种形式定义一个可能的解，将其代入方程，并确定这个解是否有效，如果是，如何得到这个解及其相应的指数。

存在性和唯一性定理

因此，由于指数函数在更简单的微分方程中多次出现，我们猜想X的解为X = u ⋅ $e^{\lambda t}$ ，其中u是一个系数矩阵。

因此

$\lambda \mathbf {u} e^{\lambda t}=\mathbf {A} \mathbf {u} e^{\lambda t}$

$\lambda e^{\lambda t}=\mathbf {A} e^{\lambda t}$

$(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )\mathbf {u} =0$

这里存在一个谎言，我们还要做另一个假设：A为常数矩阵；但这正是特征值-特征向量对的定义！因此，对于一个二阶矩阵，存在两个线性无关的解，因此根据叠加原理，将这两个解的增广矩阵乘以常数矩阵，可以得到我们正在寻找的基本解集。

然而，由于这些特征值的性质（以及我们希望得到实数解，以帮助分析使用这些微分技术的物理模型），存在三种可能的特征值对情况，可以创造出不同的基本解集