线性代数与微分方程/非齐次线性微分方程/参数变化

与普通微分方程中的参数变化（这里有很多相似之处！）一样，我们取一个基本解，并使用一个待求向量与之相乘，看看我们是否可以通过这种方法找到另一个线性无关的解。换句话说，由于通解可以表示为 $\mathbf {c\psi }$，其中 $\mathbf {c}$ 是常数矩阵，而 $\mathbf {\psi }$ 是齐次方程的线性无关解集，我们尝试以下形式

$\mathbf {X} =\mathbf {u\psi }$

并确定 $\mathbf {u}$ 以找到唯一的解。数学运算相当直接，留给读者作为练习，结果得到

$\mathbf {X} =\mathbf {\psi } (t)\mathbf {\psi } ^{-1}(t_{0})\mathbf {X} ^{0}+\mathbf {\psi } (t)\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {\psi } ^{-1}(s)\mathbf {g} (s)ds$

…这是一个相当强大、直接但极其复杂的公式。