虽然附录中包含一个完整的符号列表，但这主要是一个参考工具，用于提醒读者符号的含义。本节旨在向读者介绍符号并解释其用法。
这不是对集合论的全面或严格定义。我们将定义最少的集合论对象，以便理解数学思维的概念。在这本书中，我们将使用大写字母表示集合，使用小写字母表示集合的元素。这种约定不是为了阻止创造力或让你的袜子脱落，而是为了避免混淆。
公理 是假设或认为是正确的。这是数学证明的起点；你不能证明 公理，你只是相信它们并用它们来证明其他东西。公理集合有很多，最流行和最新的是Zermelo-Fraenkel 集合论 。我将在这里列出一些公理，这些公理足以满足本书的研究。
存在一个集合。（对于我们的目的，集合 是我们将称为元素 的对象的集合。据说一个集合包含 它的元素，而元素被认为是包含在 集合中的。）
存在一个空集。该集合将被表示为 ∅ {\displaystyle \varnothing }
当且仅当两个集合包含相同的元素时，它们是相等的。
如果 A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} 并集 。
如果 A {\displaystyle A} P ( x ) {\displaystyle P(x)} A {\displaystyle A} x {\displaystyle x} B {\displaystyle B} x {\displaystyle x} B {\displaystyle B} P ( x ) {\displaystyle P(x)}
存在计数数字的集合 ( 1 , 2 , 3 , … ) {\displaystyle (1,2,3,\dots )} 其中一些表述比较正式，这是数学家的一种倾向。首先，让我们解释一下为什么我们需要这些公理。
第一个公理说“存在一个集合”。所以你可能会问——我们不是知道它存在吗？我们不能简单地定义它存在吗？答案是，可以，这就是为什么它是公理。公理应该是自明的真理。既然我们已经确定集合存在，为什么我们要一个没有元素的集合呢？嗯，空集结果证明是一个非常有用而且非常令人讨厌的集合。在学习这本课本的最后，你将学会与空集成为好朋友。
公理 3 可以被认为是一个定义，而不是一个公理，指的是我们说两个集合相等时的含义。公理 4 只是说，如果我们有两个集合，我们可以得到一个包含所有这些元素的新集合。例如，所有人的集合和所有狗的集合。
第五个公理可能是最令人困惑的。它只是说，如果我们有一个集合，并且我们想挑选出某些元素，我们可以做到。例如，从所有整数的集合中，我们可以选择偶数、正数或完全平方 。
最后，无限公理很好，因为我们将使用无限集做很多事情。
如上所述，集合 将是一组元素 。例如，令 A {\displaystyle A} B {\displaystyle B}
A
=
{
x
|
x
is a cheesecake
}
{\displaystyle A=\{x|x{\mbox{ is a cheesecake}}\}}
B
=
{
x
|
x
is chocolate
}
{\displaystyle B=\{x|x{\mbox{ is chocolate}}\}}
竖线 | 读作“使得”。我们可以通过使用上面的公理 5 以这种方式选择元素。对于 A {\displaystyle A} P ( x ) {\displaystyle P(x)}
P
(
x
)
:
x
is a cheesecake
{\displaystyle P(x)\ :\ x{\mbox{ is a cheesecake}}}
请注意，我们已经隐式地假设存在一个全集 ，包含我们进行选择的所有元素。在上面的示例中，这个全集可以是所有糕点的集合。一般来说，如果全集未指定，我们将假设我们谈论的是实数 R {\displaystyle \mathbb {R} } C = { x | x > 2 } {\displaystyle C=\{x|x>2\}} C {\displaystyle C} 2 {\displaystyle 2}
说 x {\displaystyle x} A {\displaystyle A} A {\displaystyle A} x {\displaystyle x} x ∈ A {\displaystyle x\in A} A ∋ x {\displaystyle A\ni x} x {\displaystyle x} A {\displaystyle A} x ∉ A {\displaystyle x\notin A}
在公理 4 中定义了 A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} 并集 。它包含 A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} A ∪ B {\displaystyle A\cup B}
A
∪
B
=
{
x
|
x
∈
A
or
x
∈
B
}
=
{
x
|
x
is a cheesecake or is chocolate
}
{\displaystyle A\cup B=\{x|x\in A{\mbox{ or }}x\in B\}=\{x|x{\mbox{ is a cheesecake or is chocolate}}\}}
A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} 交集 是包含所有同时属于两者 的元素的集合。它的符号是 A ∩ B {\displaystyle A\cap B}
A
∩
B
=
{
x
|
x
∈
A
and
x
∈
B
}
=
{
x
|
x
is a chocolate cheesecake
}
{\displaystyle A\cap B=\{x|x\in A{\mbox{ and }}x\in B\}=\{x|x{\mbox{ is a chocolate cheesecake}}\}}
如果 A ∩ B = ∅ {\displaystyle A\cap B=\varnothing } A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} 互斥 。这意味着这两个集合没有任何共同的元素。例如，如果 A {\displaystyle A} B {\displaystyle B}
请注意，逻辑连接词 ∨ , ∧ {\displaystyle \lor ,\land } ∪ , ∩ {\displaystyle \cup ,\cap }
A
∪
B
=
{
x
|
(
x
∈
A
)
∨
(
x
∈
B
)
}
{\displaystyle A\cup B=\{x|(x\in A)\lor (x\in B)\}}
A
∩
B
=
{
x
|
(
x
∈
A
)
∧
(
x
∈
B
)
}
{\displaystyle A\cap B=\{x|(x\in A)\land (x\in B)\}}
量词用于确定当前正在讨论哪些元素。它们就像英语中的形容词——它们告诉我们我们正在谈论的多少 或什么类型 的东西。
最常见的量词是对所有 。在数学中，它写成 ∀ {\displaystyle \forall } H {\displaystyle H} E {\displaystyle E}
∀
x
∈
H
,
x
∈
E
{\displaystyle \forall x\in H,x\in E}
它读作“对于所有属于 x {\displaystyle x} H {\displaystyle H} x {\displaystyle x} E {\displaystyle E} H {\displaystyle H} E {\displaystyle E} H {\displaystyle H} E {\displaystyle E}
H
⊂
E
.
{\displaystyle H\subset E.}
这个符号， A ⊂ B {\displaystyle A\subset B} B {\displaystyle B} A {\displaystyle A} A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} A ⊂ B {\displaystyle A\subset B} A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} A ≠ B {\displaystyle A\neq B} A ⊊ B {\displaystyle A\subsetneq B}
这可能和“对于所有”一样常见，而且同样有用。它的数学符号是 ∃ {\displaystyle \exists } ∀ {\displaystyle \forall } ∃ {\displaystyle \exists }
∀
h
∈
H
,
∃
m
∈
M
such that
m
is the mother of
h
.
{\displaystyle \forall h\in H,\exists m\in M{\mbox{ such that }}m{\mbox{ is the mother of }}h.}
H
{\displaystyle H}
M
{\displaystyle M}
∀
h
,
∃
m
such that
m
is the mother of
h
.
{\displaystyle \forall h,\exists m{\mbox{ such that }}m{\mbox{ is the mother of }}h.}
这个量词也读作“存在”或“存在着”。为了表示只有一样东西，我们说“存在唯一的……”并将感叹号放在存在符号之后： ∃ ! {\displaystyle \exists !}
就像“非与”得到“或”一样，“非对于所有”得到“存在”。也就是说，“所有芝士蛋糕都是巧克力”的相反是，“存在一个不是巧克力的芝士蛋糕”。用逻辑术语来说，
¬
(
∀
x
∈
A
,
P
(
x
)
)
is equivalent to
∃
x
∈
A
:
¬
P
(
x
)
.
{\displaystyle \lnot (\forall x\in A,P(x)){\mbox{ is equivalent to }}\exists x\in A:\lnot P(x).}
以上语句读作“‘对于所有 A 中的 x，P(x) 为真’的否定是‘存在一个 A 中的 x，使得 P(x) 为假’”。
正如我们所见，“使得”至少可以在两种情况下使用：与“存在”一起使用以及从集合中选取元素。当然，如果你仔细想想，这两种情况实际上是相同的应用，因为“存在”语句给了你所有存在事物的集合，而“使得”语句则缩小了该集合的大小，只关注你感兴趣的事物。“使得”通常用冒号 (:) 或竖线 (|) 表示，有时也用“s.t.” 表示。
这是一个非常有用的短语，可以使证明更加简洁和减少冗余。例如，假设我们有两个整数 x 和 y ，并且我们知道其中一个是奇数，另一个是偶数。与其尝试进行两个不同的平行证明，一个假设 x 是偶数，y 是奇数，另一个假设 y 是偶数，x 是奇数，我们只需说“不失一般性，假设 x 是偶数”。然后我们继续进行证明。之所以这样做，是因为如果 y 实际上是偶数，那么相同的论证也适用，我们只需重新标记 x 和 y 即可。
现在，我们不会开始讨论天文学。在数学中，“宇宙”指的是你讨论中最大的集合。例如，如果宇宙没有限制，那么所有事物的集合将真正是包含所有事物的集合。但是，如果你的宇宙是地球上所有事物的集合，那么“所有事物的集合”将不包括木星，因为木星不在地球上。
在算术中，“差集”表示两个数字之间的距离——它们在数轴上相隔多远。在集合论中，“差集”的意思略有不同，但使用相同的符号。（ A − B {\displaystyle A-B} A 和 B 的差集。）差集是所有在 A 中但不在 B 中的事物的集合。
A
−
B
=
{
x
∈
A
|
x
∉
B
}
=
{
x
|
x
∈
A
∧
x
∉
B
}
{\displaystyle A-B=\{x\in A|x\notin B\}=\{x|x\in A\land x\notin B\}}
在日常英语中，我们会在说“所有没有过失的人在本课程中都得 A”这类话时使用这个概念。
一个包含 A、B 和 U 的韦恩图。 一个集合的 补集 包含所有不在原集合中的元素。这个定义只有在理解宇宙的时候才有意义。补集通常用 A c {\displaystyle A^{c}} U 是宇宙，那么 A 的补集定义为 A c = U − A {\displaystyle A^{c}=U-A}
右侧的图是一个 韦恩图 。韦恩图显示了集合之间的关系。注意，在图中，U 是宇宙，A 和 B 是 U 中的集合。蓝色部分是 A ∪ B {\displaystyle A\cup B} A 和 B 中是否有元素。如果 A ∩ B {\displaystyle A\cap B}
一个集合的补集本质上与一个语句的否定相同。也就是说，
if
A
=
{
x
|
P
(
x
)
}
{\displaystyle A=\{x|P(x)\}}
A
c
=
{
x
|
¬
P
(
x
)
}
{\displaystyle A^{c}=\{x|\lnot P(x)\}}
因此，补集用于说明某事物不是什么。
用集合表示以下语句，使用差集或补集。所有有两条腿的人。
所有不是希腊的神话生物。
所有上面没有奶油的布丁馅饼。
画一个韦恩图来说明以下内容。 A ∩ B ∩ C {\displaystyle A\cap B\cap C} A ∪ B − C {\displaystyle A\cup B-C} ( A c ∩ B c ) ∪ C {\displaystyle (A^{c}\cap B^{c})\cup C} A ∩ ( B ∪ C ) {\displaystyle A\cap (B\cup C)} A − ( U − B ) {\displaystyle A-(U-B)}
对以下语句进行否定。 ∀ x ∈ A , ∃ y ∈ B : P ( x , y ) {\displaystyle \forall x\in A,\exists y\in B:P(x,y)} 并非所有快速、棕色的狐狸都跳过一些懒惰的狗。 
