数学证明/证明方法/直接证明

构造性证明是最基本的证明类型。它是一种从假设开始的证明，一个人使用一系列逻辑步骤和公理列表来得出结论。

定理的组成部分

一个定理是用先前证明的语句（如定理）或用公理构建的证明语句。有些定理非常复杂且涉及很多内容，所以我们将讨论它们的不同部分。

假设

假设是定理的“如果”语句。在某种程度上，它类似于公理，因为它被认为是真实的，以便证明定理。我们将考虑一个简单的例子。

定理 2.1.1. 如果 A 和 B 是满足$A\subseteq B$和$B\subseteq A$的集合，那么 A=B.

在这个定理中，假设是“then”之前的部分。这是一个非常简单的证明。我们需要证明对于每个x，$x\in A\Leftrightarrow x\in B$。为了分析证明，我们将定义$P(x)=x\in A$和$Q(x)=x\in B$。证明“当且仅当”语句最常见的方法是分别证明必要性和充分性

• 所以我们首先证明$P(x)\Rightarrow Q(x).$因此，我们假设P(x)为真。也就是说，$x\in A.$由于我们根据假设假设了$A\subseteq B,$，我们知道$x\in B$，这意味着Q(x)为真。

• 现在我们证明$Q(x)\Rightarrow P(x)$，所以我们假设Q(x)为真。这意味着$x\in B$。由于我们知道$B\subseteq A,$，我们知道$x\in A,$所以P(x)为真。

通过这两个结论，我们看到$P(x)\Leftrightarrow Q(x).$

现在，根据公理 3，A=B，因为$x\in A\Leftrightarrow x\in B.$ 这就完成了证明。这是一个非常简单的证明，但它的目的是展示如何使用假设或假设集来达到预期的结论。这里的方法是在证明两个集合相等时最常用的方法。您需要证明每个集合都是另一个集合的子集。

结论

定理中“then”后面的部分称为结论。定理的证明仅仅是假设和结论之间的逻辑联系。一旦您看到并证明了一些定理，结论几乎是可预测的。例如，您会从以下两个陈述中自然地得出什么结论？

1. 所有美国人都是人。
2. 所有的人类都居住在地球上。

这两个陈述是假设。为了将此表述为一个定理，我们将有“如果所有美国人都是人，并且所有的人类都居住在地球上，那么所有美国人都居住在地球上。” 这种说法是大多数人认为完全显而易见，不需要证明的。然而，为了展示这个概念在数学中的应用，我们将抽象这个定理并证明它。

定理 2.1.2. 如果$A\subset B$ 并且$B\subset C$，那么$A\subset C$。

为了了解这与我们的问题有什么关系，令A 为所有美国人的集合，B 为所有人的集合，C 为所有居住在地球上的事物的集合。

为了证明$A\subset C$，我们需要证明$\forall x\in A,x\in C.$ 因此，我们假设$x\in A.$ 根据假设，$A\subset B,$ 所以$x\in B.$ 同样根据假设，$B\subset C$，所以$x\in C.$ 由于这对于任何任意$x\in A,$ 都是成立的，我们已经证明了$A\subset C.$

定义

虽然定义通常不是定理的一部分，但它们通常在定理之前立即介绍，以便帮助定义您使用的符号或帮助证明它。

定义 2.1.3. 如果一个集合A 只有有限多个元素，那么A 的阶，用 |A| 表示，是A 中元素的个数。

此定义赋予了以下定理意义。

定理 2.1.4. 如果 A 和 B 是有限集合，使得 A = B，那么 |A|=|B|。

这里我们利用了**A**是有限集这一事实。令**n**为整数，使得**|A| = n**。然后对**A**的元素进行索引，使得$A=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}.$ 现在 $\forall i=1,2,\ldots ,n$，我们有 $x_{i}\in B$。因此我们看到**B**至少有**n**个元素，即 $|B|\geq n.$ 同时，**B**的每个元素都属于**A**（根据假设），因此**B**的元素数量不会超过**A**的元素数量，所以$|B|\leq n$，因此**|B| = n = |A|**，这就完成了证明。

给定条件

有时，定理的第一部分列出了定理需要满足的条件。因此，这个列表在定理中被描述为“给定条件”。这有助于读者理解定理陈述中究竟什么是假设，什么是结论。例如，定理 2.1.4 可以改写，以便提前列出所需要的条件。

定理 2.1.4. 给定有限集**A**和**B**，如果**A = B**，则**|A| = |B|**。

这个陈述清楚地突出了假设和结论，在这个例子中。

定理分类

数学家在陈述数学结果时喜欢使用不同的术语。定理可能是最常见和最著名的，尤其是对于非数学家来说。然而，在数学中还有一些其他相关的术语。它们都是定理，但具有更具体的用途。

引理

一个引理是一个“小型定理”。当一个结果不太深刻、更琐碎或更无聊时，它可以被称为引理。引理也用于使定理的证明更简洁。也就是说，如果证明中的一段可以被单独提取出来证明，那么它被称为引理，而定理的证明就会说类似“如引理中所证”之类的话。

例如，以下引理将有助于使定理 2.1.4 的证明更简洁。

引理 2.1.5. 如果**A**和**B**是有限集，且 $A\subset B$，则 $|A|\leq |B|$。

正如你可能猜到的，这是使用符号 $\subset$ 的一个原因，因为它在外观上类似于 <。

令**n = |A|**。然后对**A**的元素进行编号，所以$A=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}.$ 然后对于从 1 到 **n** 的每个**i**，我们看到$x_{i}\in B$，这意味着**B**至少有**n**个不同的元素，或者$|B|\geq n=|A|,$ 这就是我们要证明的。

现在如果我们对定理 2.1.4 使用两次这个引理，我们将得到一个非常简短的证明。由于 $A\subset B$ 我们知道 $|A|\leq |B|.$ 此外，由于 $B\subset A$，我们可以看到 $|B|\leq |A|.$ 现在我们使用关于数字的一个事实，即如果 $x\leq y$ 且 $y\leq x$，则必须得出结论 x = y。

推论

一个 推论 类似于引理，因为它通常很小，并不像定理那样重要。但是，推论通常是从定理中直接得出的结果。推论倾向于使用一些众所周知或已建立的定理以及主要定理来证明。这就是为什么推论通常在大型定理之后附带出现的原因。

例如，假设我们证明了定理“所有人都猪”。那么推论将是“有头的人都是猪”。这显然从第一个结果得出，因为“人有头”是众所周知的，也是真实的（没有头的人会很奇怪，不是吗？）。另一个略微有趣一点的推论是“人死后可以被卖为培根”，因为“培根来自猪”是众所周知的，也是真实的。

因此，我们看到推论是从前面的定理中得出的，并且需要最少的论据来支持它。请注意，您声明为推论的定理对于其他人来说可能不是推论，因为推论是主观的。然而，将推论视为依赖于“常识”或“显而易见”，以至于读者认为它是定理的直接结果，这是在确定将哪些内容分配为推论时应该有的正确想法。

练习

1. 证明以下集合相等。用真值表或维恩图验证它。您可以假设 A、B 和 C 是非空集。另外假设 U 是全集。
   1. $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$
   2. $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
   3. $A^{c}-B=(A\cup B)^{c}$
   4. $A-B^{c}=A\cap B$
   5. $(A-B)\cup (A\cap C)=A-(B-C)$
2. 证明如果 *A* 和 *B* 是有限集，那么 $|A\cup B|\leq |A|+|B|$，并且当 $A\cap B=\varnothing .$ 时，等式成立。

3. 证明奇数的平方是一个奇数。

问题提示

定义 奇数定义为 2n + 1，其中 *n* 是一个自然数，也可以等于 0。

方法提示

形式 2n + 1 中的 *n* 不必是一个数字。它可以是一个方程。

一些思考

• 我们已经为有限集定义了集合的 *阶* 或大小。为无限集定义这个阶是否有意义？你如何判断两个无限集的大小是否相同？
• 如果你知道 $|A|\leq |B|,$，你能证明 $A\subset B?$ 吗？