数学证明/证明方法/反证法

附录

反证法是假设一个命题不成立，然后证明这个假设会导致矛盾。在试图证明 $P\Rightarrow Q$ 的情况下，这等效于假设 $P\land \lnot Q$ ，也就是假设 $P$ 为真，而 $Q$ 为假。这种方法被称为拉丁语的reductio ad absurdum（归谬法），因为它最终得出无法成立的结论。

2 的平方根

一个很好的例子是证明 ${\sqrt {2}}$ 是无理数。直接证明（通过构造性证明）可能非常困难（如果不是不可能的话）。然而，通过反证法，我们有一个相当简单的证明。

命题 2.3.1.

{\sqrt {2}}\notin \mathbb {Q}

证明：假设 ${\sqrt {2}}$ 是有理数。那么 ${\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是互质整数（a 和 b 没有公因子）。^[1] 且 $b\neq 0$ 。所以

$2={\frac {a^{2}}{b^{2}}}$

$2b^{2}=a^{2}$

但由于 $a^{2}$ 是偶数， $a$ 也必须是偶数，因为奇数的平方也是奇数。然后我们有 $a=2a_{1}$ ，或 $2b^{2}=4a_{1}^{2},$ 所以 $b^{2}=2a_{1}^{2}$ 。

现在可以将相同的论点应用于 $b$ 以找到 $2b_{1}=b$ 。但是，这与 a 和 b 互质的原始假设相矛盾，上述情况是不可能的。因此，我们必须得出结论， ${\sqrt {2}}$ 是无理数。

当然，我们现在注意到，在这个证明中，除了 2 是素数之外，没有什么是特殊的。这使我们能够说 $a$ 是偶数，因为我们知道 $a^{2}$ 是偶数。请注意，这对于 4 不起作用（主要是由于 ${\sqrt {4}}=2\in \mathbb {Q}$ ）因为 $4|a^{2}$ 不意味着 $4|a$ 。

更多想法

用英语来说，这个过程是这样的：断言一个陈述是错误的，然后证明自己错了。（从而证明了原始陈述是正确的。）这是一种 Modus Tollens 的形式。

对于许多学生来说，反证法是一种巨大的礼物和特洛伊木马，这两种情况都来自于这种方法的强大之处。事实上，敏锐的读者可能已经注意到，构造法和逆否法都可以从反证法中推导出。

假设	证明	矛盾
$P\land \lnot Q\ which\ implies\ P$	$Q\ (from\ P\ only)$	$Q\land \lnot Q$
$P\land \lnot Q\ which\ implies\ \lnot Q$	$\lnot P\ (from\ \lnot Q\ only)$	$P\land \lnot P$