现代物理/数学/四维向量

狭义相对论
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数学教程 - 四维向量

我们已经看到，一个波是由四个数字描述的，即空间向量的分量 **k** 和频率 ω

在狭义相对论中，这四个数字构成一个四维向量

它被称为一个四维向量，因为它有 3 个类空间分量，形成一个向量，以及一个类时间分量（当存在 3 个空间维度时）。它被称为四维向量，因为当我们改变参考系时，它的行为方式。

波四维向量的类空间分量只是 $\mathbf {k}$ 当存在 3 个空间维度时，而类时间分量是 $\omega /c$ 其中分母中的 c 用于使类时间分量与类空间分量具有相同的维度。

让我们定义一些术语。我们用下划线表示四维向量，并将分量按以下方式写出： ${\underline {k}}=(k,\omega /c)$，其中 ${\underline {k}}$ 是波四维向量，$k$ 是它的类空间分量，以及 $\omega /c$ 是它的类时间分量。对于三个空间维度，我们有波向量而不是波数，我们写 ${\underline {k}}=(k,\omega /c)$.

另一个四维向量的例子是时空中的位置向量，${\underline {x}}=(x,ct)$，或者在三个空间维度中，${\underline {x}}=(\mathbf {x} ,ct)$。在这种情况下，$c$ 乘以类时间分量，因为这是使其与类空间分量具有相同维度的必要条件。

在三维空间中，我们将向量定义为具有大小和方向的量。将其扩展到时空，四维向量是在时空具有大小和方向的量。这个定义中隐含着向量的大小是一个独立于坐标系或参考系的量。我们已经看到，时空中的不变间隔是

$I={\sqrt {x^{2}-c^{2}t^{2}}}$,

因此将它识别为位置向量的幅度是有道理的。这导致了定义四维向量点积的一种方式。

给定两个四维向量

${\underline {A}}=(\mathbf {A} ,A_{t})\quad {\underline {B}}=(\mathbf {B} ,B_{t})$

那么点积是

${\underline {A}}\cdot {\underline {B}}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} -A_{t}B_{t}\quad {\mbox{(时空中的点积)}}$

如果我们设置，这与不变间隔的定义一致

${\underline {A}}={\underline {B}}={\underline {x}}$,

自那时起

${\underline {x}}\cdot {\underline {x}}=x^{2}-c^{2}t^{2}=I^{2}$.

现在，关于三维向量点积的关键是，它们是标量，与观察者无关。如果轴旋转，它们不会改变，正如之前所证明的那样。

为了使我们对四维向量点积的定义有用，它也应该独立于观察者。特别是，它不应该依赖于观察者的速度，否则它将违反相对论原理。

我们可以很容易地检查我们的定义是否满足这个标准。

很明显，它独立于旋转，因为它是一个点积和两个标量乘积的差，这两个项都不会受到坐标旋转的影响。

它也独立于参考系速度吗？

为了检查，首先我们需要能够在新的参考系中写下我们的四维向量。我们知道如何对位置向量进行此操作——使用洛伦兹变换。可以证明，相同的变换必须适用于所有向量，因此四维向量在新的参考系中的分量（相对于之前的参考系，沿 *x* 轴以速度 *v* 运动）为

${\begin{matrix}A'_{x}&=&\gamma \left(A_{x}-{\frac {v}{c}}A_{t}\right)\\A'_{y}&=&A_{y}\\A'_{z}&=&A_{z}\\A'_{t}&=&\gamma \left(-{\frac {v}{c}}A_{x}+A_{t}\right)\end{matrix}}$

在此参考系中的点积为

${\underline {A'}}\cdot {\underline {B'}}=A'_{x}B'_{x}+A'_{y}B'_{y}+A'_{z}B'_{z}-A'_{t}B'_{t}$

简化后，我们得到

${\begin{matrix}{\underline {A'}}\cdot {\underline {B'}}&=&\gamma ^{2}\left(A_{x}B_{x}-{\frac {v}{c}}(A_{x}B_{t}+A_{t}B_{x})+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}A_{t}B_{t}\right)\\&&+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}&\\&&-\gamma ^{2}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}A_{x}B_{x}-{\frac {v}{c}}(A_{x}B_{t}+A_{t}B_{x})+A_{t}B_{t}\right)\\&=&\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-1}\left(A_{x}B_{x}+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}A_{t}B_{t}\right)\\&&+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}\\&&-\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-1}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}A_{x}B_{x}-A_{t}B_{t}\right)\\&=&A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}-A_{t}B_{t}\end{matrix}}$

这正是我们想要的，在原始坐标系中的点积。

我们现在知道两个四维向量的点积是一个 *标量* 结果，也就是说，它的值与坐标系无关。在某些情况下，这一点可以用来获得优势。

在时空的奇特几何中， *垂直* 的含义并不明显。因此，我们 *定义* 两个四维向量 ${\underline {A}}$ 和 ${\underline {B}}$ 为垂直的，如果它们的点积为零，就像三维向量一样。

${\underline {A}}\cdot {\underline {B}}=0$

由于点积是标量，如果向量在一个坐标系中是垂直的，那么它们在所有坐标系中都是垂直的。

我们还可以考虑四维向量 ${\underline {A}}$ 的点积，该向量在非带撇的坐标系中分解为 $(A_{x},A_{t})$。让我们进一步假设在某个带撇的坐标系中，类空间分量为零，因此该坐标系中的分量为 (0, A_t' )。点积与坐标系无关这一事实意味着

${\underline {A}}\cdot {\underline {A}}=A_{x}^{2}-A_{t}^{2}=-A_{t}'^{2}$

这构成了时空勾股定理在四维矢量（除位置四维矢量外）上的扩展。因此，例如，某个波的波数在参考系中可能为零，这意味着未参考系中的波数和频率与参考系中的频率的关系为$k^{2}-\omega ^{2}/c^{2}=-\omega '^{2}/c^{2}$.

固有时

在经典力学中，时间导数 d/dt 就像一个标量，因此我们可以用它来乘以一个向量，并得到另一个向量。

在相对论中，t 是四维矢量的一部分，这意味着 d/dt 也是，因此我们不能简单地对向量关于 t 进行微分，并期望得到向量。

例如，静止粒子的位置是 (0, ct)。

从以 v 向右移动的参考系来看，其位置变为 (-vτ, cτ)，其中 τ=γt 是在移动参考系中测量的時間。

如果我们关于 τ 进行微分，则速度将为 (-v, c)。

如果我们关于 t 进行微分，则在静止参考系中得到 (0, c)，如果这是四维矢量，则在移动参考系中将为 (-γv, -γc)（使用洛伦兹变换）。

当在同一个参考系中测量时，这两个表达式相差一个 γ 因子，因此这不可能是四维矢量。

但是，如果移动的观察者除以 γ（即时间膨胀），他们将得到与静止的观察者相同的向量。

这样做等同于关于粒子自身静止系中的时间进行微分。由于这对位置向量有效，我们预计它对所有向量都有效。

在粒子静止系中测量的時間称为其固有时。

关于固有时对向量进行微分将得到另一个向量，它是时间导数的相对论等效物。