实分析/积分的应用

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实分析 积分的应用

积分主要用于处理导数。尽管本章标题为“积分的应用”，但“应用”一词并不意味着本章将讨论如何在生活中使用积分。相反，我们将介绍的以下定理侧重于说明计算积分的方法和定义性质。

计算定理

本标题将处理推导积分的计算公式。虽然微积分基本定理的结果提供了一种计算积分的方法，该方法需要事先了解原函数，但这绝不是计算积分的唯一方法——尤其是在积分比幂函数复杂的情况下。

原函数

f 的原函数定义
给定一个函数 f 和任何其他函数 g，如果${\textstyle \left[\int {f}\right]'=\left[\int {g}\right]'}$，f 和 g 仅相差一个常数，并且原函数定义为满足${\textstyle \left[\int {f}\right]'=\left[\int {g}\right]'}$的函数，其中可能存在一个常数 C。

f 实际上指的是积分的导数，而不是函数本身。因此，f 的原函数是一个陈述，它需要引用正在求导的函数，而不是该导数的输出。

这也被称为反导数

我们先对原函数的本质进行一个简短的说明。回想一下，从微积分基本定理中，本质上存在一个函数$f$，它们出现在对${\textstyle \int _{a}^{x}{f}}$应用导数时。

如果我们使用与定理中不同的变量（它们使用 F 和 f），我们可以通过以下步骤显示此过程

$u=\int _{a}^{x}{f}\Longleftrightarrow u'={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!x}}\left[\int _{a}^{x}{f}\right]\implies u'=f$

我们在最后一步使用蕴涵箭头来强调一个重点。最后一步，虽然在逻辑上是一个等效语句——因此在该位置使用 iff 符号是可以的，但这并不意味着逆运算很容易。实际上，只有实分析以外的数学才能严格地证明如何逆转该步骤可能比向前推进更复杂。因此，大多数一年级实分析课程只会要求你向前推进。

然而，有一些函数的原函数很容易找到。几乎是数学教育者设计的，在初等数学中学习的每个函数，包括在函数部分中严格定义的函数；三角函数部分；以及指数和对数标题，都具有很容易定义的原函数，这些原函数可以通过反向使用导数表（对幂函数和三角函数给予一些宽容——三角函数是该列表中最难导出的函数）进行轻松推导。尽管如此，我们将在下面提供一个表格，这样你就不必进行这种脑力练习。

注意
像这样的表格让人感觉积分和微分相互抵消，并且让人感觉所有原函数都是相等的。事实并非如此！像这样的表格常常是造成这些混淆的基础。如果有人感到困惑，请确保阅读所有材料以了解细微差别！

原函数转换表

是		变为
导数是	不定积分是	反导数是	原函数是
$a$		$ax+C$
$e^{x}$		$e^{x}+C$
${\frac {1}{x}}$		$\log {}+C$
$x^{n}$		${\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$
$a^{x}$		${\frac {a^{x}}{\log a}}+C$
$\sin$		$-\cos {}+C$
$\cos$		$\sin {}+C$
$\tan$		$-\log {\cos {}}+C$
$\sec ^{2}{}$		$\tan {}+C$
$\sec {}\tan {}$		$\sec {}+C$
${\frac {1}{1+x^{2}}}$		$\arctan {}+C$
${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$		$\arcsin {}+C$
$\sin ^{2}$		${\frac {1-\cos {2x}}{2}}+C$
$\cos ^{2}$		${\frac {1+\cos {2x}}{2}}+C$
$\arctan$		$x\cdot \arctan {}-1/2\cdot \log {(1+x^{2})}+C$
$\sec$		$\log {(\sec {}+\tan {})}+C$
$\csc$		$-\log {(\csc {}+\cot {})}+C$

哈！如果你注意到了，每个原函数周围都有一个常数变量 *C*。再加上原函数相当间接的定义，似乎原函数的概念本身需要解释。举个例子，由于将微积分基本定理和一个导数定理一起应用的一个主要结果（具体来说，如果 $f'=g'$，那么 $f=g+c$），必须添加一个常数变量 *C*，才能进行代数上正确的转换。由于这个要求，虽然积分的导数通常（用外行人的话说）“抵消”了这两个运算，但在逻辑上它并不是完全的抵消——尤其是在原函数 *f* 未知的情况下。

然而，有两个事实，当被接受时，使常数 *C* 问题在处理积分时变得容易处理得多。

1. 出于积分计算的目的（不定积分定义的一个技巧），在计算出最终结果之前，不需要担心常数。
2. 如果函数的性质允许易于显示数值（如根），则计算常数值 *C* 很容易。

不定积分

这将作为一个简短的旁白，但对于理解本章的其余内容至关重要。

如果不想写出上面所有这些步骤怎么办？如果只是想承认原函数的多种解释，而不会被明确地声明你的函数 *f* 作为反导数所困扰，同时仍然通过填写 *f* 来写出原函数，那么 $f+C$ 是什么。很简单。数学家们同意了不定积分的定义，它被定义为

$\int {f}:=\left\{f+C:\forall C\in \mathbb {R} ,f={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!x}}\left[\int _{a}^{x}{f}\right]\right\}$

简而言之，这意味着该语句中积分和导数的所有原函数的集合。有趣的是，这个定义在谈论原函数时是隐含的，更重要的是，**这个定义是在求积分的导数时的技术输出**。

分部积分法

定理
给定可微函数u和v，如果$u'$和$v'$是连续的，那么$\int {uv'}=uv-\int {u'v}$ 是一个有效的等式

为什么用变量u和v而不是更传统的f和g？嗯，使用变量u和v是分部积分的传统命名约定！除了令人困惑的传统之外，它还有一个更实际的原因，即给定函数f可以是两个函数u和v的组合，可以将其代入这个方程以得出f的计算答案。

这是一个重要的定理，也非常容易推导（它只涉及代数和方程）。假设一个人知道由两个其他函数相乘组成的函数的导数，证明如下。

分部积分是真实存在的证明

给定乘法方程的导数，我们知道，首先，我们可以以以下方式重新排列方程，其次，我们知道这些函数也是连续的，因为函数的导数意味着函数本身一开始就是连续的。	${\begin{aligned}(uv)'&=u'v+uv'\\u'v&=(uv)'-uv'\end{aligned}}$
假设函数u′和v′是连续的。因此，现在一切都连续了，我们可以对整个方程应用积分，仍然得到一个有效的表达式。	${\begin{aligned}(uv)'&=u'v+uv'\implies \\\int {u'v}&=\int {(uv)'-uv'\operatorname {d} \!x}\end{aligned}}$
经过一些代数运算，包括使用微积分基本定理，最终结果如下所示。	${\begin{aligned}\int {u'v}&=\int {(uv)'-uv'\operatorname {d} \!x}\\&=\int {(uv)'}-\int {uv'}\\&=uv-\int {uv'}\\\end{aligned}}$ $\blacksquare$

符号

可能有人注意到，特别是在阅读过任何其他数学文献的情况下，在讨论积分时使用了一种符号格式。例如，分部积分的完整符号是

$\int u(x)v'(x)\,\operatorname {d} \!x=u(x)v(x)-\int v(x)\,u'(x)\operatorname {d} \!x$

但通常写成

$\int u\,\operatorname {d} \!v=uv-\int v\,\operatorname {d} \!u$

符号 $\operatorname {d} \!u$ 和 $\operatorname {d} \!v$ 不应该以积分部分讨论的正常意义来理解，即d后的变量代表将被视为变量的变量，而其他所有变量都被视为常数。相反，该变量指的是一个函数。因此，该符号正在以一种新的方式使用，可以通过定义特定的情况来简洁地描述

$\operatorname {d} \!v:=v'(x)\operatorname {d} \!x$

$\operatorname {d} \!u:=u'(x)\operatorname {d} \!x$

请注意，这种新定义与$\operatorname {d} \!x$的原始定义并不冲突，因为这一个指的是右侧的变量是函数而不是变量的情况。

换元积分法

定理
给定一个可微函数g，如果某个函数$f$ 和 $g'$ 是连续的，则 $\int _{g(a)}^{g(b)}{f\operatorname {d} \!x}=\int _{a}^{b}{f\circ g\cdot g'}$ 是一个有效的等式。

与分部积分法不同，没有提到变量u。这是因为变量u、g和f在整个定理中的关系非常复杂，这将在另一个标题中解释。现在，让我们专注于确保这个陈述本身是有效的。

幸运的是，这个公式也很容易验证。与分部积分法一样，它也不使用很多定理，只依赖于微积分基本定理第二部分和链式法则。

换元积分法成立的证明

定义函数Λ为f的原函数，这在给定连续函数f的情况下是有效的，这意味着$\int _{g(a)}^{g(b)}{f}$ 符合微积分基本定理第一部分（请注意，这个原函数可以定义为实际的原函数——被积分的函数，而不是允许变量常数的原函数，因为微积分基本定理第一部分表明确实存在一个等于被积分函数的原函数）。然后我们可以应用微积分基本定理第二部分来推导出一个可计算的等式。	${\begin{aligned}\int _{g(a)}^{g(b)}{f}\implies \exists \Lambda :\Lambda '&=f\\\land \int _{g(a)}^{g(b)}{f}&=(\Lambda \circ g)(b)-(\Lambda \circ g)(a)\end{aligned}}$
但是，让我们想象一下，我们向Λ输入函数g，而不是通常的输入变量x。现在，由于Λ是一个复合函数，其导数应该仍然等于f（毕竟，我们只是改变了输入，而不是函数本身），我们可以对函数Λ应用链式法则。	$(\Lambda \circ g)'=\Lambda '\circ g\cdot g'=f\circ g\cdot g'$
现在，如果我们对 $(\Lambda \circ g)'$ 进行积分，那么什么样的区间会使结果更有趣呢？显然，区间应该是 [a, b]，因为如果我们使用微积分基本定理，	$\int _{a}^{b}(\Lambda \circ g)'=(\Lambda \circ g)(b)-(\Lambda \circ g)(a)$
这两个等式将是相等的。	$\therefore \int _{a}^{b}{f\circ g\cdot g'}=\int _{g(a)}^{g(b)}{f}.\;\;\blacksquare$

正如之前提到的，这个等式并没有详细说明它在计算积分表达式中的应用方式。鉴于许多关于如何使用换元法进行积分的内容可以在其他网站或维基教科书中找到（例如，维基百科的换元积分页面，它提供了关于如何使用这种方法的详细示例，或者以微积分为例，它的页面讨论了换元法），这部分内容将讨论他们所教授的步骤如何与这个定理相关联。

首先，这个定理与其他通常教授的内容有所不同，因为它使用的是定积分，而不是分部积分所使用的不定积分。这是因为这个定理及其解释最适合用定积分来说明，因为它突出了函数的顺序，以便使两个表达式相等。然而，构成定积分的边界可以通过求导很容易地“抵消”，从而产生更容易处理的定理，即基础数学中教授的定理，

定理
给定一个可微函数 g，如果函数 $f$ 和 $g'$ 是连续的，那么 $\int {f}=\int {f\circ g\cdot g'}$ 是一个有效的等式。

也可以记作 $\int {f(x)}\operatorname {d} \!x=\int {(f\circ u)(x)\operatorname {d} \!u}{\text{ or as }}\int {(f\circ u)(x)\;{\frac {\operatorname {d} \!u}{\operatorname {d} \!x}}\;\operatorname {d} \!x}$

也称为u-substitution（u-替换）。

你可能注意到，当在这里使用莱布尼茨记号时，它看起来几乎像是对 $\operatorname {d} \!x$ 运算符使用了代数运算中的除法。这可能是这种记号至今仍然存在的一个原因，因为某些定理可以通过遵循类似代数的性质来轻松地表达。

换元积分的应用

与分部积分不同，分部积分的解释可以很容易地通过乘法和不定积分解释的推导来总结，这个定理需要大量的解释才能理解它的应用方式。

除了之前略过的为什么使用定积分之外，本节标题将隐含这一点，我们首先讨论函数 *f*、*g* 和 *u* 分别代表什么。请注意，在几乎所有情况下（除非你定义 $g(x)=x$，这不会导致更简单的计算），你在定积分中看到的以及作为定理语句左侧 *f* 出现的函数实际上将是 *f* 和 *g* 的复合函数，其中 *g* 是你希望操纵的函数，*f* 是要积分的整体函数的其他部分。因此，如果示例是

$\int {(2x+5)(x^{2}+5x)^{7}}$

那么函数 $f\circ g=(2x+5)(x^{2}+5x)^{7}$ 可以表示为

$f=x'\cdot x^{7}\land g=(x^{2}+5x)^{7}$

因此，在大多数情况下，换元积分法实际上是从整体复合函数 $f\circ g=(2x+5)(x^{2}+5x)^{7}$ 中找出函数 *g*，定义 *u* = *g*，并将整体函数简化为一个可以简单求出定积分的函数。因此，对于这个例子，

$f\circ g=g'\cdot g^{7}$

这很容易计算，因为现在唯一关注的是 *g*⁷，即应用换元积分法。

因此，在大多数解释中使用的变量 *u* 在简单情况下将简单地等于 *g*。对于更复杂的情况，*u* 将不等于 *g* - 这将在 下一节 中进行解释。

换元积分法的逆运算

在其他维基教科书中有更详细的解释，应用 换元积分法 的常用方法是找到某个函数 *u = g(x)*，该函数在整体表达式 *f* 中使用输入变量 *x*，并且它的导数也可以在整体表达式 *f* 中找到，将其代入表达式 *f* 中 - 确保这个新函数可以替换掉输入变量 *x* 的所有实例以及 *u* 的其他项，并应用该定理。然而，也可以进行逆运算。我们的意思是？不是寻找一个函数 *u = g(x)* 来替换输入变量 *x*，而是找到函数 *x = g^-1(u)* 的逆函数，该函数可以抵消整体表达式 *f* 的部分以及输入变量 *x*，然后对 *u* 进行积分。

换句话说，如果需要“移动”函数 - 这将涉及到对函数 *u* 进行逆运算 - 将函数从 *dx* 侧移动到 *du* 侧，则使用此推论。我们知道，对于变量 *x* 和 *u*，逆运算与对函数 *g* 进行逆运算并使用变量 *x* 和 *u* 作为各自的输入一样简单。但是，我们是否知道是否可以通过用逆函数替换函数来将函数从一个 *dx* 移动到另一个 *du*？毕竟，*dx* 和 *du* 不是变量，而是运算符。以下推论证明了这一点。

换元积分法逆运算等价性的证明

我们从 上一节 中知道定义 ${\textstyle \int {f}}$ 实际上指的是 *f* 和 *g* 构成的函数 - 不定积分中的 *f* 与 *f* 本身并不相同。因此，给定以下内容，我们可以扩展	$\int {h}=\int {f\circ g}$
让我们用完整的符号写出这个等式。	$\int {f\circ g}=\int {f\circ g(x)\operatorname {d} \!x}$
现在让我们检查一下当我们定义 $x=g^{-1}(u)$ 以及 $\operatorname {d} \!x=[g^{-1}]'(u)\operatorname {d} \!u$ 时，方程式会发生什么。	$\int {f\circ g(x)\operatorname {d} \!x}=\int {f(u)\cdot [g^{-1}]'(u)\;\operatorname {d} \!u}$
回到原始的完整符号，让我们乘以 1。注意，g'(x) 永远不能等于 0。但如何知道这一点呢？	$\int {f\circ g}=\int {f\circ g(x)\cdot {\frac {1}{g'(x)}}\cdot g'(x)\operatorname {d} \!x}$
简单！假设 $u=g(x)$ 以及 $\operatorname {d} \!u=g'(x)\operatorname {d} \!x$。请注意，我们也知道 $(g^{-1}\circ u)(x)=x$，这在方程式中被使用。	$\int {f\circ g(x)\operatorname {d} \!x}=\int {f(u)\cdot {\frac {1}{g'\circ g^{-1}(u)}}\operatorname {d} \!u}$
应用逆函数的等效定义。	$\int {f\circ g(x)\operatorname {d} \!x}=\int {f(u)\cdot [g^{-1}]'(u)\;\operatorname {d} \!u}$
这两个方程，尽管假设了不同变量的不同值，但它们不仅在左侧相等，而且在右侧也相等。这意味着无论选择哪个变量，都可以使用换元积分法。	$\blacksquare$