实分析/前言
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简介→ |
普林斯顿大学埃利奥特·利布教授将分析定义为“取极限的艺术”，并进一步补充说“估计是分析的精髓”。数学通常大致细分为分析、代数和拓扑，因此每个领域的覆盖范围都很广泛。本书特别关注实数域中的分析——还有许多其他分析领域，例如复分析、泛函分析和调和分析。它将首先介绍函数概念所需的基本概念，然后继续讨论更基于分析的主题。
分析主要关注与微积分相同的主题，例如极限、导数和积分，但以数学的方式而不是以简单的实用方式。在学习分析之前，您可能需要学习微积分；在回到分析时，您最终会重复很多相同的材料，但您会理解它的实际意义。这似乎是浪费精力，但您会对分析的许多基本概念感到更舒服。
另一方面，在学习微积分时，您可能会对经常出现的关于执行各种运算的规则感到沮丧，而这些规则几乎没有或根本没有证明。分析研究将所有这些都置于形式基础上，并提供该证明。
在分析中，许多论点必须非常小心地构建，并且必须能够非常精确地陈述。为此，熟悉数学逻辑的符号很重要，特别是“对所有”（）和“存在”（）符号。此符号将在整本书的定义和证明中使用，在尝试理解所呈现的材料之前，了解这些符号的含义以及它们之间的关系至关重要。
实分析的核心很少使用其他数学领域的知识。一些有用的基础知识包括集合论，尤其是关于无限集和基数的部分。在许多地方，特别是针对序列的工作，了解归纳法和递归（在上）很重要；但是，不需要超出对证明技巧的标准介绍的内容。对于一些更高级的主题，一些拓扑知识可能会有所帮助。熟悉微积分的概念将使本书更容易理解，但不是必需的，因为所有相关概念将在需要时在文本中定义。
另请注意，多变量分析一章假设具有线性代数的最小背景，但这部分是可选的，因为其他章节都不依赖于本章。
与所有数学维基教科书一样，实分析是百科全书式的。与大多数印刷书籍不同，它不是为补充任何课程或教学而设计的。因此，它包含了许多想法和概念堆叠在一起，可能会让未经训练的读者感到困惑。我们计划对内容进行重大重组，并为读者提供指南，以便充分利用本书。本书的另一个主要问题是缺乏综合练习，尤其是在后面的章节中。
欢迎编辑为任何这些改进做出贡献。