实分析/定理列表

下面列出了本维基教科书涵盖的所有定理。每个定理的格式与本维基教科书中其他定理不同，而是以严格的“如果-则”陈述的形式写成，没有任何给定的陈述或解释。虽然这使每个定理比简单地复制粘贴每个证明要短得多，也更容易放在一页纸上，但你不会获得了解证明是如何构建的，以及大多数这些定理的上下文（当你不了解每个变量代表什么时，这可能不好）。

请注意以下几点

1. 这里的定理没有明确定义任何词语——请查找相邻或嵌入的链接以了解它们。
2. 出于可搜索性的原因，本页还包括属性列表。

并且永远记住，逻辑条件语句默认情况下**不允许**逆命题！

如何阅读

定理根据统一的“如果”陈述划分成不同的表格。每个图表应该像一张地图，告诉你你的证明可以在哪里有效地进行。表格分为三行：参考、如果和则。第一行专门为读者提供有关所讨论定理的一些背景信息。它通常是定理的名称、定理的直接用途或不存在。第二行是定理之间有效转换所需要的条件。第三行是你现在可以有效地断言为真的东西，而不必担心出现矛盾或无效的陈述。

如果你在该页面上遇到任何编号列表，这意味着默认情况下所有条件都必须满足。换句话说，假设该列表中的所有内容都在 AND 条件下工作，除非另有说明。

将使用任何和所有正常的命名约定。例如，ƒ 默认情况下指的是一个函数——除非另有说明。如果必须根据上下文推断某些变量名，这就会变得很重要。例如，积分的“函数”L 和 U 实际上分别代表下限和上限，并不一定是您习惯的函数（因此不要将函数定理应用于它们！)

公理列表

公理，在逻辑上，本质上是无需“如果”陈述的证明。因此，以下列表只包含本质上是“则”陈述的内容，可以自由使用。

本维基教科书的公理列表

参考	公理
结合律	$(a+b)+c=a+(b+c)$
交换律	$a+b=b+a$
单位元律	$a+0=a$
逆元律	$a+(-a)=0$
结合律	$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
交换律	$a\cdot b=b\cdot a$
单位元律	$a\cdot 1=a$
逆元律	$a\cdot a^{-1}=1$
分配律	$a\cdot (b+c)=ab+ac$
"等式定律"	$0\neq 1$

定理列表

代数定理和属性列表

如果	则
a = b	f(a) = f(b)
a = b	f-1(a) = f-1(b)

函数定理和属性列表

如果	则
函数 ƒ 是一个常数函数	$f'=0$
	$\int _{a}^{b}f=c(b-a)$
函数 ƒ = x	$\int _{a}^{b}f=b^{2}/2-a^{2}/2$
函数 ƒ 是一个有理函数	$f'={\dfrac {p'q-q'p}{q^{2}}}$
函数 ƒ 在某个区间 I 上是 凸 的	函数 -ƒ 在某个区间 I 上是 凹 的
函数 ƒ 在某个区间 I 上是 凹 的	函数 -ƒ 在某个区间 I 上是 凸 的
该函数在 [a,b] 上有界，且 ${\begin{aligned}&\sup {\{L(f,{\mathcal {P}})\,:\,{\mathcal {P}}{\text{ a partition of }}[a,b]\}}\\=&\inf {\{U(f,{\mathcal {P}})\,:\,{\mathcal {P}}{\text{ a partition of }}[a,b]\}}\end{aligned}}$	该函数在 [a,b] 上是 可积 的
该函数在 [a,b] 上有界，且 $U(f,{\mathcal {P}})-L(f,{\mathcal {P}})<\epsilon$

极限定理和性质列表

如果	则
函数 ƒ 在 极限 处有定义	$\lim _{x\rightarrow c}af(x)=a\cdot \lim _{x\rightarrow c}f(x)=aL$
函数 ƒ 在极限处有定义且不为 0	$\lim _{x\rightarrow c}{\frac {1}{g(x)}}={\frac {1}{M}}$
函数 ƒ 和函数 g 在极限处有定义	$\lim _{x\rightarrow c}{f(x)+g(x)}=L+M$
	$\lim _{x\rightarrow c}{f(x)-g(x)}=L-M$
	$\lim _{x\rightarrow c}{f(x)\cdot g(x)}=L\cdot M$
函数 ƒ 和函数 g 在极限处有定义，且 函数 g 不为 0 g 的极限不为 0	$\lim _{x\rightarrow c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L}{M}}$
函数 ƒ 在 c 处有定义的极限	该极限是唯一的

连续性定理和性质列表

如果	则
函数 ƒ 在 c 处是 连续 的	$\lim _{x\rightarrow c}{\lambda \cdot g(x)}=\lambda \cdot g(c)$
函数 ƒ 在 c 处是连续的，且不为 0	$\lim _{x\rightarrow c}{\left({\dfrac {1}{g}}\right)(x)}={\dfrac {1}{g(c)}}$
函数 ƒ 和 g 在 c 处连续	$\lim _{x\rightarrow c}{(f+g)(x)}=f(c)+g(c)$
	$\lim _{x\rightarrow c}{(f-g)(x)}=f(c)+g(c)$
	$\lim _{x\rightarrow c}{(f\cdot g)(x)}=f(c)\cdot g(c)$
函数 ƒ 和 g 在 c 处连续 g(c) ≠ 0	$\lim _{x\rightarrow c}{\left({\dfrac {f}{g}}\right)(x)}={\dfrac {f(c)}{g(c)}}$
函数 g 在 c 处连续，函数 ƒ 在 g(c) 处连续	$\lim _{x\rightarrow c}{f\circ g(x)}=f(g(c))$
函数 ƒ 在 [a,b] 上连续，并且存在两个数字 a 和 b 使得 a < b	$\exists c\in (a,b)$ 使得 $f(a)<f(c)<f(b)$
	函数 ƒ 在区间 [a,b] 上有界
函数 ƒ 在 [a,b] 上连续 M 是 ƒ 在区间 [a,b] 上的上界 m 是 ƒ 在区间 [a,b] 上的下界	$\exists c,d\in [a,b]$ 使得 $f(c)=M$ 并且 $f(d)=m$.
函数 ƒ 在 [a,b] 上连续	ƒ 在 [a,b] 上可积

导数定理和性质列表

参考	如果	则
连续性的推论	函数 ƒ 在 x 处可微	函数 ƒ 在 x 处连续
证明“泛函分析”的定理	函数 ƒ 在 (a, b) 上定义 在 x 处可微 x 是最大值或最小值点	它在 x 处的导数等于 0
罗尔定理	函数 ƒ 在 [a,b] 上连续 在 (a,b) 上可微 f(a)=f(b)	$\exists c\in (a,b)$ 使得 $f'(c)=0$
均值定理	函数 ƒ 在 [a,b] 上连续 在 (a,b) 上可微	$\exists c\in (a,b)$ 使得 $f'(c)={\dfrac {f(a)-f(b)}{a-b}}$
柯西均值定理	函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 区间 $[a,b]$ 上连续 在 (a,b) 上可微 是除法的有效操作数	$\exists c\in (a,b)$ 使得 ${\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}$.
证明"函数分析"的定理	函数 ƒ 在某个区间 I 上有一阶导数为正	ƒ 在区间 I 上也必须是递增的
	函数 ƒ 在某个区间 I 上有一阶导数为负	ƒ 在区间 I 上也必须是递减的
	函数 ƒ 有 在某个 x 处一阶导数值为 0。 在某个 x 处二阶导数值为正。	ƒ(x) 是一个局部最小值
	函数 ƒ 有 在某个 x 处一阶导数值为 0。 在某个 x 处二阶导数值为负。	ƒ(x) 是一个局部最大值
证明直觉的定理	在某个点 (x, ƒ(x)) 处的切线位于凸/凹区域之间。	只要函数是凹的，直线就会大于函数。如果函数是凸的，直线就会小于函数。

积分定理和性质列表

如果	则
函数 ƒ 在 [a,b] 上可积，且 a < c < b	ƒ 在 [a,c] 上可积，且 ƒ 在 [c,b] 上可积
ƒ 在 [a,c] 上可积，且 ƒ 在 [c,b] 上可积	函数 ƒ 在 [a,b] 上可积
ƒ + g 在 [a,b] 上可积	$\int _{a}^{b}{f+g}=\int _{a}^{b}{f}+\int _{a}^{b}{g}$
ƒ 在 [a,b] 上可积	对于所有 $c\in \mathbb {R}$ 使得 $\int _{a}^{b}{cf}=c\int _{a}^{b}{f}$
	$\int _{a}^{b}{f}=-\int _{b}^{a}{f}$
ƒ 在 [a,b] 上连续，且 ƒ 是某个函数 g 的导数	$\int _{a}^{b}{f}=g(b)-g(a)$
ƒ 在 [a,b] 上可积，并且 ƒ 是某个函数 g 的导数。
ƒ 在 c 处连续，其中 c 在区间 [a,b] 内。	$F'(x)={\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}{f}=-{\frac {d}{dx}}\int _{x}^{a}{f}=f$