实分析/实数

为什么我们需要实数

这是一个很好的时机来证明实分析的主题，实质上相当于证明研究 $\mathbb {R}$ 的必要性。那么，缺少了什么？为什么我们需要超出有理数的任何东西呢？

第一个麻烦的迹象是平方根。众所周知， ${\sqrt {2}}$ 不是有理数——换句话说，没有有理数的平方等于 $2$ （参见练习）。这个事实有一个奇怪的结果——考虑以下函数

$f:\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} \ ;\ x\mapsto {\begin{cases}0&:x^{2}<2\\1&:x^{2}>2\\\end{cases}}$

显然，这个函数在有理数 $1.4$ 附近有一个剧烈的跳跃，它突然从等于零变为等于一。然而，很难（甚至不可能）准确地确定这个跳跃发生在哪里。任何特定有理数都安全地位于一边或另一边，事实上，在 $\mathbb {Q}$ 上的标准拓扑中，这个函数是连续的（如果你不明白这一点，别担心）。

实数就是为了弥补这个缺陷而设计的。我们将定义实数 $\mathbb {R}$ ，这样无论我们多么聪明，如果一个函数像 $f$ 一样有“跳跃”，那么我们总能找到一个它跳跃的特定数字。

以下部分描述了 $\mathbb {R}$ 的属性，这些属性使得这成为可能。

不同的视角

为了证明关于实数的任何东西，我们需要知道它们的属性是什么。描述这些属性有两种不同的方法——公理化和构造性。

公理化方法

当我们采用公理化方法时，我们只是对 $\mathbb {R}$ 做出一系列断言，并假设它们成立。

我们做出的断言被称为公理——在数学语境中，这个词大致意味着“基本假设”。

这种方法的优点是，在继续推导出仅依赖于这些假设的结果之前，就可以清楚地知道到底假设了什么。

这种方法的缺点是，可能不清楚是否真的存在满足我们想要属性的任何对象！

构造性方法

使用构造性方法，我们并不满足于简单地假设我们想要的东西，而是试图构造 $\mathbb {R}$ 从更简单的东西开始，然后证明它具有我们想要的属性。这样，原本可能成为公理的东西就变成了定理。有几种不同的方法可以做到这一点，从 $\mathbb {Q}$ 开始，并使用一些方法来“填补有理数之间的空白”。

所有这些方法都相当复杂，将在下一节中讨论。

公理

那么，我们需要哪些公理呢？简而言之， $\mathbb {R}$ 是一个完备有序域。这实际上是在说很多事情。

That $\mathbb {R}$ 是一个全序域.
That $\mathbb {R}$ 在这个排序中是完备的（注意，这里完备的含义与偏序集研究中的常见含义略有不同）。
域公理描述的代数运算（加法和乘法）以预期的方式与排序交互。

更详细地说，我们断言以下内容

$\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ 是一个域。为此，我们需要定义在 $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ 上的二元运算加法（记为 $+$ $+$ ）和乘法（记为 $\times$ $\times$ ），以及满足以下条件的不同的元素 $0$ $0$ 和 $1$ $1$ ：
1. $(\mathbb {R} ,+,0)$ $(\mathbb {R} ,+,0)$ 是一个交换群，这意味着
  1. $\forall x,y,z\in \mathbb {R} :(x+y)+z=x+(y+z)$ （结合律）
  2. $\forall x,y\in \mathbb {R} :x+y=y+x$ （交换律）
  3. $\forall x\in \mathbb {R} :x+0=x$ （单位元）
  4. $\forall x\in \mathbb {R} :\exists y\in \mathbb {R} :x+y=0$ （逆元）
2. $(\mathbb {R} \setminus \{0\},\times ,1)$ $(\mathbb {R} \setminus \{0\},\times ,1)$ 是一个阿贝尔群，这意味着
  1. $\forall x,y,z\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:(x\times y)\times z=x\times (y\times z)$ （结合律）
  2. $\forall x,y\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:x\times y=y\times x$ （交换律）
  3. $\forall x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:x\times 1=x$ （单位元）
  4. $\forall x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:\exists y\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:x\times y=1$ （逆元）
3. $\forall x,y,z\in \mathbb {R} :x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)$ （分配律）
$\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ 是一个全序集。为此，我们需要一个关系（用 $\leq$ $\leq$ 表示）满足
1. $\forall x\in \mathbb {R} :x\leq x$ （自反性）
2. $\forall x,y,z\in \mathbb {R} :(x\leq y{\text{ and }}y\leq z)\implies x\leq z$ （传递性）
3. $\forall x,y\in \mathbb {R} :(x\leq y{\text{ and }}y\leq x)\implies x=y$ （反对称性）
4. $\forall x,y\in \mathbb {R} :{\text{either }}x\leq y{\text{ or }}y\leq x$ （全序性）
$\mathbb {R}$ 在此顺序下是完备的（有关详细信息，请参见下文）。
域运算和顺序以预期的方式交互，这意味着
1. $\forall x,y,z\in \mathbb {R} :x\leq y\implies (x+z)\leq (y+z)$
2. $\forall x,y,z\in \mathbb {R} :(x\leq y{\text{ and }}0\leq z)\implies (x\times z)\leq (y\times z)$

这是一个相当长的列表，如果你不习惯公理化数学（或者即使你习惯了！），它可能看起来有点令人生畏，尤其是因为我们还没有给出完备性的细节。这是数学任何领域中最长的公理列表之一，但如果你逐条检查它们，你会发现它们都陈述了你可能理所当然地认为是“数字的行为方式”的东西，而没有经过仔细思考。

这些公理非常精确，以至于在某种意义上它们精确地指定了实数。换句话说， $\mathbb {R}$ 是唯一的完备有序域。

进一步的符号

在定义了 $\mathbb {R}$ 上的这些运算和关系之后，我们需要引入更多符号来帮助讨论它们。希望所有这些约定你都熟悉，但正式地展示它们很重要，以避免因符号理解错误而导致的混淆

我们不必写 $\times$ 表示乘法，我们可以简单地用并置来表示它。换句话说，我们写 $xy$ 表示 $x\times y$ .
由于乘法和加法都是结合律，当多个数字相加或相乘时，我们省略不必要的括号。换句话说，我们不必写 $(x+y)+z$ 或 $x+(y+z)$ ，它们是相等的，我们简单地写 $x+y+z$ 来表示它们共同的值。
为了进一步节省书写括号，按照惯例，乘法比加法具有更高的优先级。因此，例如，表达式 $x+yz$ 应解释为 $x+(yz)$ ，而不是 $(x+y)z$ .
数字 $x+y$ 被称为 $x$ 和 $y$ 的和。
数字 $xy$ 被称为 $x$ 和 $y$ 的积。
$x$ 的加法逆元写成 $-x$ ，称为 $x$ 的负数或 相反数。所以， $x+(-x)=0$ 。
$x$ 的乘法逆元写成 $x^{-1}$ ，称为 $x$ 的倒数，或者简称为 $x$ 的逆。所以， $x(x^{-1})=1$ 。
我们定义减法的二元运算如下：对于 $x,y\in \mathbb {R}$ ，我们设置 $x-y=x+(-y)$ 。数字 $x-y$ 被称为 $x$ 和 $y$ 的差。
减法与加法具有相同的优先级（低于乘法），当两个运算混合在一起且没有括号时，意味着使用左结合性。例如， $a+b-c-d+e$ 应该解释为 $(((a+b)-c)-d)+e$ 。
我们定义二元运算除法如下：对于 $x,y\in \mathbb {R}$ ，其中 $y\not =0$ ，我们设置 $x/y=x(y^{-1})$ 。数字 $x/y$ 称为 $x$ 和 $y$ 的商，也记作 ${\frac {x}{y}}$ 。
除法比加法或减法的优先级更高，但对于混合乘法和除法的处理方式没有简单的约定。使用 ${\frac {x}{y}}$ 符号而不是 $x/y$ 符号有助于避免混淆。
我们定义二元运算指数运算如下：对于 $x\in \mathbb {R}$ 和 $n\in \mathbb {N} _{0}$ ，我们递归地定义 $x^{n}$ 为 $x^{0}=1$ 和 $x^{n+1}=(x^{n})x$ 。那么对于 $n\in \mathbb {Z}$ ，其中 $n<0$ ，我们定义 $x^{n}=(x^{-1})^{-n}$ 。
指数运算的优先级高于除法、乘法、加法和减法。例如， $ab^{2}+d^{3}$ 应该被解释为 $(a(b^{2}))+(d^{3})$ .
我们用 $x\geq y$ 来表示 $y\leq x$ .
我们用 $x<y$ 来表示 $x\leq y$ 并且 $x\not =y$ .
我们用 $x>y$ 来表示 $y<x$ .
为了缩写一系列等式或不等式，它们可以串在一起。例如，表达式 $a\leq b=c=d<e$ 应该被解释为 $a\leq b$ 并且 $b=c$ 并且 $c=d$ 并且 $d<e$ .
要说明 $x$ 是 *正数*，意味着 $x>0$ .
要说明 $x$ 是 *负数*，意味着 $x<0$ .
如果说 $x$ 是非正的，意味着 $x\leq 0$ 。
如果说 $x$ 是非负的，意味着 $x\geq 0$ 。
我们还引入了几个常见的 $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ 子集的符号。所有这些子集都被称为区间。
- $[a,b]=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x\leq b\}$ (被称为从 $a$ 到 $b$ 的 闭区间)
- $(a,b)=\{x\in \mathbb {R} :a<x<b\}$ (被称为从 $a$ 到 $b$ 的 开区间)
- $[a,b)=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x<b\}$
- $(a,b]=\{x\in \mathbb {R} :a<x\leq b\}$
- 在所有这些情况下， $a$ 被称为区间的下限，而 $b$ 被称为上限。
- 一个被排除的下限（如第二和第四种情况）可以用 $-\infty$ 来代替，表示没有下限限制。例如， $(-\infty ,b]=\{x\in \mathbb {R} :x\leq b\}$ 。
- 类似地，一个被排除的上限（如第二和第三种情况）可以用 $\infty$ 来代替。例如， $(-\infty ,\infty )=\mathbb {R}$ 。
- 一些经常出现的特定区间是 *闭单位区间*，或者简称为 *单位区间*，它是 $[0,1]$ ，以及 ${\mathbb {R} }^{+}=(0,\infty )$ ，正实数。