实分析
实分析的主题是研究函数、序列和集合在实数轴上的行为和性质，我们用数学上熟悉的 表示。我们希望通过实分析来考察的概念包括极限、连续性、导数（变化率）和积分（参数变量扩展上的变化量）等性质。这些想法中的许多都在更低层次的数学中（包括普通的一年级微积分课程）在概念上或实践上得到了处理，因此，对于不熟悉此主题的读者来说，实分析可能显得毫无意义且微不足道。然而，实分析的深度、复杂性和美感，在于它在日常数学的表面之下，存在着一种保证正确性的东西，我们称之为严谨性，它渗透到整个数学领域。因此，在某种程度上，实分析可以被视为一个严格的、经过充分验证的框架的开发，用来支持我们经常认为理所当然的直观想法。
实分析是一个非常直观的学科，因为它只是对你在数学学习过程中遇到的数学思想进行几乎线性的发展。然而，我们不会依赖有时不确定的直觉（当我们解决一个我们不理解的问题时，我们都曾有过这种感受），而是将其锚定在一个严格的数学定理集合中。在本书中，我们将开始看到，我们不需要直觉来理解数学——我们需要一个手册。
本书的总体论点是如何用公理方法定义实数。那将如何运作？本书将以这种方式阅读：我们列出我们认为定义实数的性质。然后，我们从这些性质——并且只有这些性质——证明实数的行为符合我们一直以来所想象的方式。然后，我们将重新审视我们一生中积累的所有基本定理和事实，使它们汇聚在一起，几乎就像它们在分析之前就一直是真实的一样；事实上，它一直都是严谨的——只是现在我们知道它是如何产生的。
不要认为当你完成了本书后，数学就结束了。在其他学术研究领域，我们可以看到一个奇怪的数学领域，它正越来越多地被带到标准思维的前沿。在你理解了本书之后，数学将看起来好像是不完整的，缺少了一些你可能以前思考过的一些概念。在本书中，我们将提供比实数和实分析更深入的数学内容。毕竟，我们在这里谈论的数学似乎总是只在一个数字、运算和比较的海洋中涉及一个变量。
注意：下文使用的数学符号表及其定义可在 附录 中找到。
下面列出了从其他书籍中整理出来的一组精选章节。它们将有助于发展你的数学严谨性，这是你在本书以及高等数学中都需要的一种思维方式。
本书的这一部分正式化了我们在数学中使用的各种类型的数字，一直到实数。这部分重点关注不仅数字本身，而且算术运算和不等式比较器的公理性质（我们为了分析的目的而定义为真实的）。
本书的这一部分正式化了图形、函数以及三角学的定义和用法。本节最奇怪的方面是它使用图形作为某些性质（例如三角学）的证明方法。这些证明方法大多不受欢迎（因为在图形证明中，准确性和缺乏严格的定义），但它们对于推导出三角关系至关重要，因为三角函数的解析定义会使使用三角学过于困难——尤其是在早期描述它们的时候。
| 注意 | |
|---|---|
| 在 反函数章节 中描述的定理需要了解 导数。 |
以下章节将严格定义三角函数。只有在你对导数、积分和反函数有很好的理解之后，才能阅读它们。
- 三角函数，定义
- 三角定理，定义
本书的这部分形式化了由算术、集合或逻辑关系约束的数列。这部分重点关注数学归纳法等概念，以及与自然数可枚举的集合以及整数的极限集合相关的性质。
本书的这部分形式化了数学中距离的概念，并介绍了度量空间分析。
本书的这部分形式化了数学中区间概念，并介绍了拓扑。
本书的这部分形式化了极限与连续性的概念，以及它们如何在初等数学和高等数学之间形成逻辑关系。这部分重点关注 epsilon-delta 定义、epsilon-delta 证明是如何运作的以及极限的含义。它还讨论了其他主题，例如极限的特殊情况——连续性。
本书的这部分形式化了微分，以及它们如何用来描述函数的性质。这部分重点关注证明导数如何研究函数变化的性质，以及导数如何为函数提供性质。
| 注意 | |
|---|---|
| 黎曼积分或达布积分定义的构造都不需要 epsilon-delta 极限。 |
本书的这部分形式化了积分，以及想象面积的含义是如何产生许多不同形式的积分的。这部分重点关注证明导数如何研究函数变化的性质，以及导数如何为函数提供性质。
在这里，你会发现一个未分类的章节列表。这里列出的部分是高级主题，而其他部分是帮助你在数学之旅中前进的工具。由于这是维基教科书的最后一个标题，因此必要的书籍结尾也位于此处。