波/平面波

波 : 二维和三维波
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问题

平面波

二维或三维的平面波类似于一维的正弦波，只是波峰和波谷不是点，而是形成与波传播方向垂直的线（二维）或平面（三维）。图 2.5 显示了二维的平面正弦波。大箭头是称为波矢的矢量，它定义了（1）波传播方向，其方向垂直于波前，以及（2）波数，其长度由其长度定义。我们可以将波前视为沿波峰的线。三维平面正弦波在某个时刻的位移方程为

$A(x,y,z)=\sin({\mbox{k}}\cdot {\mbox{r}})=\sin(k_{x}x+k_{y}y+k_{z}z).$ (3.9)

图 2.5: 二维平面正弦波的定义草图。波前是相位恒定的表面，相隔一个波长。波矢垂直于波前，其长度是波数。

由于波前是相位恒定的线或面，因此定义波前的方程只是 ${\mbox{k}}\cdot {\mbox{r}}=const$。

在二维情况下，我们只需设置 $k_{z}=0$。因此，二维的波前，或相位恒定的线 $\phi$ 由以下方程定义

${\mbox{k}}\cdot {\mbox{r}}=k_{x}x+k_{y}y=\phi \quad {\mbox{(two dimensions)}}.$ (3.10)

这很容易求解 $y$ 以获得二维波前的斜率和截距。

对于一维波，波的时间演化是通过添加项 $-\omega t$ 到波的相位而获得的。在三维中，波位移作为空间和时间的函数由以下公式给出

$A(x,y,z,t)=\sin(k_{x}x+k_{y}y+k_{z}z-\omega t).$ (3.11)

频率通常取决于波矢的所有三个分量。此函数的形式，$\omega =\omega (k_{x},k_{y},k_{z})$，与一维情况一样，称为 *色散关系*，包含有关波物理行为的信息。

二维波的色散关系的一些示例如下

• 真空中的二维光波服从

$\omega =c(k_{x}^{2}+k_{y}^{2})^{1/2}\quad {\mbox{(light)}},$ (3.12)

其中 $c$ 是真空中的光速。

• 二维深海海洋波服从

$\omega =g^{1/2}(k_{x}^{2}+k_{y}^{2})^{1/4}\quad {\mbox{(ocean waves)}},$ (3.13)

其中 $g$ 是地球引力场强度，与之前一样。

• 某些类型的局限于垂直 $x-z$ 平面的大气波，被称为重力波（不要与广义相对论中的引力波混淆）3.1 遵循

$\omega ={\frac {Nk_{x}}{k_{z}}}\quad {\mbox{(gravity waves)}},$ (3.14)

其中 $N$ 是一个常数，具有时间倒数的量纲，被称为布伦特-维萨拉频率。

图 2.6：二维中三种波色散关系的等高线图。在上面板中，曲线显示频率 $\omega$ 取常数值的线或等高线。对于光和海浪，频率仅取决于波矢的大小，而对于重力波，它仅取决于波矢的方向，如右上角面板中角度 $\theta$ 所定义。这些对每种波类型的依赖关系在下面板中进行了说明。

这些色散关系的等高线图在图 2.6 的上面板中绘制。这些图应像地形图一样解释，其中线代表等高线。在图 2.6 的情况下，则代表频率的常数值。为简便起见，等高线图上没有标记频率的实际值，但在下面板中的图表中进行了表示。这是可能的，因为频率仅取决于波矢大小 $(k_{x}^{2}+k_{y}^{2})^{1/2}$ 对于前两个示例，并且仅取决于波矢方向 $\theta$ 对于第三个。