分形/数学/函数

函数

函数的属性

• 变量的数量（一元函数，二元函数，多元函数）
• 变量的类型，即输入和输出的类型（实函数，向量值函数，复函数）

函数的示意图，用比喻的方式描述为“机器”或“黑盒子”，对每个输入产生相应的输出

符号

符号的类型

• 函数式：$f(x)=x^{2}$.
• 箭头：$x\mapsto x^{2}$

从 X 到 Y 的函数 f。红色椭圆形 X 中的点集是 f 的定义域。

在扩展的箭头符号中

• 第一行定义函数规则，无需为函数命名
• 第二行明确说明了定义域和陪域

${\begin{aligned}\operatorname {sqr} \colon \mathbb {Z} &\to \mathbb {Z} \\x&\mapsto x^{2}.\end{aligned}}$

输入

输入类型

• 数字
• 平面上的位置（函数为映射，迭代函数）
  • 角度加倍映射
  • 旋转映射
  • 复二次映射
  • 有理映射
• 梯度中的位置（颜色传递函数）
• 整个平面（函数为几何平面变换）

指定函数

• 通过列出函数值。例如，如果$A=\{1,2,3\}$，则可以定义函数$f\colon A\to \mathbb {R}$为$f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4.$
• 通过公式
• 通过递归关系。定义域为非负整数的函数，称为序列，通常由递归关系定义。非负整数上的阶乘函数 ($n\mapsto n!$) 是一个基本示例
• 使用微积分。许多函数可以定义为另一个函数的反导数。这就是自然对数的情况，它是 1/x 的反导数，在 x = 1 时为 0。另一个常见示例是误差函数。更一般地说，许多函数，包括大多数特殊函数，可以定义为微分方程的解。最简单的例子可能是指数函数，它可以定义为等于其导数并在 x = 0 时取值为 1 的唯一函数。

图形

• 
  ${\frac {x^{3}+3x^{2}-6x-8}{4}}$
• 
  $\sin \left(x^{2}\right)\cdot \cos \left(y^{2}\right)$

变换

• 迭代
• 合成
• 反演

类型

• 多项式
• 有理数

有理函数

有理映射 f 是两个多项式的比值

 $f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}}$

其中

• p、q 是互质多项式 = p 和 q 是没有公因式的多项式函数（如果有公因式，我们只需将其约掉） = 有理函数处于最简形式
• f 不是常数函数
• p 是分子
• q 是分母，且 q 不为零
• f 是二维球面（黎曼球面）到其自身的可微映射。$f:S^{2}\to S^{2}$

零点和极点

• 有理函数 f(z) 的零点 = 分子 p(z) 的零点
• 有理函数 f(z) 的极点 = 分母 q(z) 的零点 = 垂直渐近线 = 分母等于零的值 = 有理函数未定义的点
• 有理函数 f 的零点（或极点）的重数 = 有理函数 f 的分子（或分母）的根的重数
• 复数极点或零点成复数共轭对出现

多项式函数和有理函数的区别

• 对于多项式，无穷大始终是超吸引不动点，对于有理函数则不成立。
• 有理函数这个术语有时包括多项式（作为退化或非真有理情况），有时只包括真有理函数（不包括多项式）

另请参阅

• 函数的导数
• 迭代映射的分析
• 周期
• NIST 数字数学函数库